广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．已知二次型 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 t x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $t$ 满足 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 为对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}$ 为交叉项系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$ 满足 $a_{ij}=a_{ji}$。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $2tx_1x_2$ 对应 $a_{12}=t$，$-2x_1x_3$ 对应 $a_{13}=-1$，$4x_2x_3$ 对应 $a_{23}=2$。
步骤 2/7
目标：正定二次型的判定条件
实二次型正定的充要条件是它的矩阵的各阶顺序主子式都大于0。即 $\Delta_1>0$，$\Delta_2>0$，$\Delta_3>0$。
公式：赫尔维茨定理：实对称矩阵正定当且仅当所有顺序主子式大于0。
提示：注意是顺序主子式，不是所有主子式。
步骤 3/7
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = 1 > 0$，恒成立。
提示：一阶顺序主子式就是左上角第一个元素。
步骤 4/7
目标：计算二阶顺序主子式并解不等式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & t \\ t & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - t \cdot t = 1 - t^2$。要求 $\Delta_2 > 0$，即 $1 - t^2 > 0$，解得 $-1 < t < 1$。
公式：二阶行列式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。
提示：解不等式时注意二次项系数为负，开口向下，大于0取中间。
步骤 5/7
目标：计算三阶顺序主子式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$\Delta_3 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - t \cdot \begin{vmatrix} t & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} t & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$
计算各子式：
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 1\cdot5 - 2\cdot2 = 1$，
$\begin{vmatrix} t & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = t\cdot5 - 2\cdot(-1) = 5t+2$，
$\begin{vmatrix} t & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = t\cdot2 - 1\cdot(-1) = 2t+1$。
代入得 $\Delta_3 = 1 \cdot 1 - t(5t+2) + (-1)(2t+1) = 1 - 5t^2 - 2t - 2t - 1 = -5t^2 - 4t$。
公式：三阶行列式按行展开公式。
提示：注意符号：展开时，元素 $a_{ij}$ 的代数余子式为 $(-1)^{i+j}M_{ij}$，这里 $a_{13}=-1$ 位于第1行第3列，$(-1)^{1+3}=1$，所以直接加 $(-1)\cdot M_{13}$。
步骤 6/7
目标：解三阶顺序主子式不等式
要求 $\Delta_3 > 0$，即 $-5t^2 - 4t > 0$。两边乘以 $-1$ 得 $5t^2 + 4t < 0$，即 $t(5t+4) < 0$。解得 $t$ 在两根之间：$t \in (-\frac{4}{5}, 0)$。
公式：一元二次不等式解法：$a t^2 + b t + c < 0$ 且 $a>0$ 时，解集为两根之间。
提示：注意乘以负数要变号，且不要忘记 $t=0$ 时 $\Delta_3=0$，不满足大于0。
步骤 7/7
目标：取交集得到最终范围
综合 $\Delta_2>0$ 的条件 $-1 < t < 1$ 和 $\Delta_3>0$ 的条件 $-\frac{4}{5} < t < 0$，取交集得 $-\frac{4}{5} < t < 0$。
提示：注意两个区间都是开区间，交集也是开区间。
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