广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四．（12 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（ $\displaystyle \varepsilon$ 是 $V$ 的恒等变换）．证明：对 $V$ 中每个向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=-\alpha_{2}$ ，且 $\displaystyle \alpha$ 可唯一地表示成 $\displaystyle \alpha_{1}$ 与 $\displaystyle \alpha_{2}$ 之和（即 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ 表示唯一）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析条件并构造分解
已知 $\sigma^2 = \varepsilon$，则 $\sigma$ 可逆且 $\sigma^{-1} = \sigma$。对任意 $\alpha \in V$，构造 $\alpha_1 = \frac{1}{2}(\alpha + \sigma(\alpha))$，$\alpha_2 = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma(\alpha))$。显然 $\alpha_1, \alpha_2 \in V$，且 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。
公式：$\alpha_1 = \frac{1}{2}(\alpha + \sigma(\alpha))$, $\alpha_2 = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma(\alpha))$
提示：注意构造的对称性，确保 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 满足特征值条件。
步骤 2/7
目标：验证 $\alpha_1$ 属于特征值1的特征向量
计算 $\sigma(\alpha_1) = \frac{1}{2}(\sigma(\alpha) + \sigma^2(\alpha)) = \frac{1}{2}(\sigma(\alpha) + \alpha) = \alpha_1$，因此 $\sigma(\alpha_1) = \alpha_1$。
公式：$\sigma(\alpha_1) = \alpha_1$
提示：利用 $\sigma^2 = \varepsilon$ 简化。
步骤 3/7
目标：验证 $\alpha_2$ 属于特征值-1的特征向量
计算 $\sigma(\alpha_2) = \frac{1}{2}(\sigma(\alpha) - \sigma^2(\alpha)) = \frac{1}{2}(\sigma(\alpha) - \alpha) = -\alpha_2$，因此 $\sigma(\alpha_2) = -\alpha_2$。
公式：$\sigma(\alpha_2) = -\alpha_2$
提示：注意符号处理。
步骤 4/7
目标：证明分解的存在性
由以上两步，对任意 $\alpha$，我们构造了 $\alpha_1, \alpha_2$ 满足 $\sigma(\alpha_1)=\alpha_1$，$\sigma(\alpha_2)=-\alpha_2$，且 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$，故存在性得证。
提示：存在性已由构造直接给出。
步骤 5/7
目标：假设另一种分解并推导
设 $\alpha = \beta_1 + \beta_2$，其中 $\sigma(\beta_1)=\beta_1$，$\sigma(\beta_2)=-\beta_2$。则两边作用 $\sigma$ 得 $\sigma(\alpha) = \sigma(\beta_1) + \sigma(\beta_2) = \beta_1 - \beta_2$。
公式：$\sigma(\alpha) = \beta_1 - \beta_2$
提示：注意 $\sigma$ 的线性性。
步骤 6/7
目标：解方程组得到唯一性
联立 $\alpha = \beta_1 + \beta_2$ 与 $\sigma(\alpha) = \beta_1 - \beta_2$，解得 $\beta_1 = \frac{1}{2}(\alpha + \sigma(\alpha)) = \alpha_1$，$\beta_2 = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma(\alpha)) = \alpha_2$。因此分解唯一。
公式：$\beta_1 = \frac{1}{2}(\alpha + \sigma(\alpha))$, $\beta_2 = \frac{1}{2}(\alpha - \sigma(\alpha))$
提示：解线性方程组时注意系数。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，对任意 $\alpha \in V$，存在唯一的 $\alpha_1, \alpha_2 \in V$ 使得 $\sigma(\alpha_1)=\alpha_1$，$\sigma(\alpha_2)=-\alpha_2$，且 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。
提示：唯一性依赖于构造的显式表达式。
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