广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六．（18 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}, C=\left(a_{i j} b_{i j}\right)_{n \times n}$ ．证明：若 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，则 $C$ 也是正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的结论
设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，$B=(b_{ij})_{n\times n}$ 均为正定矩阵，$C=(a_{ij}b_{ij})_{n\times n}$。要证 $C$ 正定，即证对任意非零列向量 $x=(x_1,\dots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$，有 $x^T C x > 0$。
提示：正定矩阵的定义：对称且所有特征值大于0，或等价于二次型恒正。
步骤 2/6
目标：利用A的正定性进行分解
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P^T P$。记 $P=(p_{ij})_{n\times n}$，则 $a_{ij} = \sum_{k=1}^n p_{ki} p_{kj}$。
公式：$A = P^T P$
提示：注意分解中 $P$ 是实可逆矩阵，不一定是上三角。
步骤 3/6
目标：将二次型展开并交换求和顺序
计算 $x^T C x = \sum_{i,j} a_{ij} b_{ij} x_i x_j = \sum_{i,j} \left( \sum_{k=1}^n p_{ki} p_{kj} \right) b_{ij} x_i x_j = \sum_{k=1}^n \sum_{i,j} p_{ki} p_{kj} b_{ij} x_i x_j$。
公式：$x^T C x = \sum_{k=1}^n \sum_{i,j} p_{ki} p_{kj} b_{ij} x_i x_j$
提示：交换求和顺序时注意指标范围。
步骤 4/6
目标：构造向量并利用B的正定性
对每个固定的 $k$，令 $y^{(k)} = (p_{k1}x_1, \dots, p_{kn}x_n)^T$，则 $\sum_{i,j} p_{ki} p_{kj} b_{ij} x_i x_j = (y^{(k)})^T B y^{(k)}$。由于 $B$ 正定，对任意向量 $y$ 有 $y^T B y \ge 0$，且等号成立当且仅当 $y=0$。因此 $x^T C x = \sum_{k=1}^n (y^{(k)})^T B y^{(k)} \ge 0$。
公式：$(y^{(k)})^T B y^{(k)} \ge 0$
提示：注意 $y^{(k)}$ 可能为零向量，此时二次型为0。
步骤 5/6
目标：证明等号不能成立
假设 $x^T C x = 0$，则对所有 $k$ 有 $(y^{(k)})^T B y^{(k)} = 0$，从而 $y^{(k)}=0$，即对所有 $i,k$ 有 $p_{ki} x_i = 0$。固定 $i$，由于 $P$ 可逆，其行向量线性无关，故存在 $k$ 使得 $p_{ki} \neq 0$，但 $p_{ki} x_i = 0$ 推出 $x_i = 0$。因此 $x=0$，与 $x$ 非零矛盾。故 $x^T C x > 0$。
提示：利用 $P$ 可逆：若 $P$ 的某列全为零则不可逆，但这里需要行向量性质。更严谨：$P$ 可逆则每列至少有一个非零元。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对任意非零向量 $x$，有 $x^T C x > 0$，且 $C$ 显然对称（因为 $a_{ij}b_{ij}=a_{ji}b_{ji}$），故 $C$ 是正定矩阵。
提示：注意验证对称性：$A,B$ 对称，所以 $C$ 对称。
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