广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $P$ 为数域，在 $P^{3}$ 中给出一组基 $\alpha_{1}=(-1,0,2), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(3,-1,0)$ ，定义线性变换 $\sigma$如下：$\sigma\left(\alpha_{1}\right)=(-5,0,3), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=(0,-1,6), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=(-5,-1,9)$ 。则 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并设定矩阵形式
设线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵为 $A$，则满足 $\sigma(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) A$。即 $\sigma(\alpha_j)$ 的坐标构成矩阵 $A$ 的第 $j$ 列。
公式：$\sigma(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) A$
提示：注意矩阵乘法顺序：基向量作为行向量右乘矩阵，或列向量左乘矩阵的转置。这里采用行向量形式。
步骤 2/6
目标：写出基向量和像的坐标
已知基向量：$\alpha_1 = (-1,0,2)$, $\alpha_2 = (0,1,1)$, $\alpha_3 = (3,-1,0)$。像：$\sigma(\alpha_1)=(-5,0,3)$, $\sigma(\alpha_2)=(0,-1,6)$, $\sigma(\alpha_3)=(-5,-1,9)$。
提示：确保向量坐标正确，避免抄错数字。
步骤 3/6
目标：求第一列坐标：表示 $\sigma(\alpha_1)$
设 $\sigma(\alpha_1) = x_1\alpha_1 + y_1\alpha_2 + z_1\alpha_3$，即 $(-5,0,3) = x_1(-1,0,2) + y_1(0,1,1) + z_1(3,-1,0) = (-x_1+3z_1, y_1-z_1, 2x_1+y_1)$。得方程组：
$$
\begin{cases}
-x_1 + 3z_1 = -5 \\
y_1 - z_1 = 0 \\
2x_1 + y_1 = 3
\end{cases}
$$
由第二式 $y_1 = z_1$，代入第三式 $2x_1 + z_1 = 3$，第一式 $-x_1 + 3z_1 = -5$。解：从 $2x_1 + z_1 = 3$ 得 $z_1 = 3 - 2x_1$，代入第一式得 $-x_1 + 3(3-2x_1) = -5$，即 $-7x_1 = -14$，$x_1=2$，则 $z_1 = -1$，$y_1 = -1$。所以第一列坐标为 $(2, -1, -1)^T$。
提示：解方程组时注意符号，代入消元要仔细。
步骤 4/6
目标：求第二列坐标：表示 $\sigma(\alpha_2)$
设 $\sigma(\alpha_2) = x_2\alpha_1 + y_2\alpha_2 + z_2\alpha_3$，即 $(0,-1,6) = (-x_2+3z_2, y_2-z_2, 2x_2+y_2)$。得方程组：
$$
\begin{cases}
-x_2 + 3z_2 = 0 \\
y_2 - z_2 = -1 \\
2x_2 + y_2 = 6
\end{cases}
$$
由第一式 $x_2 = 3z_2$，代入第三式 $6z_2 + y_2 = 6$，第二式 $y_2 = z_2 - 1$，代入得 $6z_2 + z_2 - 1 = 6$，$7z_2 = 7$，$z_2=1$，则 $x_2=3$，$y_2=0$。所以第二列坐标为 $(3, 0, 1)^T$。
提示：注意第二式右边是 -1，不要漏掉负号。
步骤 5/6
目标：求第三列坐标：表示 $\sigma(\alpha_3)$
设 $\sigma(\alpha_3) = x_3\alpha_1 + y_3\alpha_2 + z_3\alpha_3$，即 $(-5,-1,9) = (-x_3+3z_3, y_3-z_3, 2x_3+y_3)$。得方程组：
$$
\begin{cases}
-x_3 + 3z_3 = -5 \\
y_3 - z_3 = -1 \\
2x_3 + y_3 = 9
\end{cases}
$$
由第二式 $y_3 = z_3 - 1$，代入第三式 $2x_3 + z_3 - 1 = 9$，即 $2x_3 + z_3 = 10$，第一式 $-x_3 + 3z_3 = -5$。解：从 $2x_3 + z_3 = 10$ 得 $z_3 = 10 - 2x_3$，代入第一式得 $-x_3 + 3(10-2x_3) = -5$，即 $-7x_3 = -35$，$x_3=5$，则 $z_3 = 0$，$y_3 = -1$。所以第三列坐标为 $(5, -1, 0)^T$。
提示：解方程时注意系数，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：写出矩阵并验证
将三列坐标按顺序排列得到矩阵 $A$：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 \\
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
验证：计算 $\sigma(\alpha_1) = 2\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 = 2(-1,0,2) - (0,1,1) - (3,-1,0) = (-2-3, -1+1, 4-1) = (-5,0,3)$，正确。类似可验证其他。
提示：验证可确保答案正确，避免粗心错误。
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