广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五．（12分）设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\quad \cdots \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
$\displaystyle M_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为系数矩阵 $A$ 划去地 $i$ 列剩下的 $\displaystyle (n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式。证明：如果秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ，则 $\displaystyle \eta_{0}=\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个基础解系．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与已知条件
已知齐次线性方程组有 $n-1$ 个方程、$n$ 个未知数，系数矩阵 $A$ 是 $(n-1)\times n$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(A)=n-1$。$M_i$ 是 $A$ 划去第 $i$ 列后得到的 $(n-1)\times (n-1)$ 子矩阵的行列式。需要证明 $\eta_0=(M_1,-M_2,\cdots,(-1)^{n-1}M_n)$ 是方程组的一个基础解系。
提示：注意 $M_i$ 的定义：划去第 $i$ 列，保留所有行。
步骤 2/5
目标：分析解空间维数
由于 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，方程组的基础解系所含向量个数为 $n - \operatorname{rank}(A) = n - (n-1) = 1$。因此，只需证明 $\eta_0$ 是非零解，即可构成基础解系。
公式：解空间维数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩
提示：基础解系只含一个向量时，任何非零解都是基础解系。
步骤 3/5
目标：验证 $\eta_0$ 是解
将 $\eta_0$ 代入第 $k$ 个方程（$k=1,\cdots,n-1$）：$\sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{j-1} M_j$。考虑行列式 $\det\begin{pmatrix} a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n} \end{pmatrix}$，按第一行展开，恰好得到该和式。由于第一行与第 $k+1$ 行相同（若 $k\le n-1$，注意原矩阵行标从1到 $n-1$，这里第一行是 $a_{k\cdot}$，其余行是 $A$ 的行），行列式为零。因此 $\eta_0$ 满足每个方程。
公式：行列式按行展开公式：$\det(B) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} b_{1j} \det(B_{1j})$
提示：注意符号：$(-1)^{j-1}$ 对应 $(-1)^{1+j}$ 当第一行索引为1时。另外，构造的行列式有两行相同，故值为0。
步骤 4/5
目标：证明 $\eta_0$ 非零
因为 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，所以 $A$ 的列向量组的秩为 $n-1$，存在 $n-1$ 个线性无关的列。这意味着至少有一个 $M_i \neq 0$（否则所有 $n-1$ 阶子式为零，则秩小于 $n-1$）。因此 $\eta_0$ 的分量不全为零，即 $\eta_0 \neq 0$。
提示：秩为 $r$ 的矩阵至少有一个 $r$ 阶子式非零。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $\eta_0$ 是非零解，且解空间维数为1，所以 $\eta_0$ 构成方程组的一个基础解系。
提示：基础解系要求向量线性无关且能生成所有解，这里单个非零向量自动满足。
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