广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
八．（12分）设 $\displaystyle \alpha$ 是欧氏空间 $V$ 的一个非零向量，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \in V$ 满足
$$
\left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0(i=1,2, \cdots, n) ;\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0(i, j=1,2, \cdots, m ; i \neq j)
$$
其中符号 $\displaystyle (x, y)$ 表示向量 $\displaystyle x, y$ 的内积。证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：反设线性相关并构造线性组合
假设 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ 线性相关，则存在不全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_m$ 使得 $\sum_{i=1}^m k_i \alpha_i = 0$。令 $\beta = \sum_{i=1}^m k_i \alpha_i$，则 $\beta = 0$。
公式：$\sum_{i=1}^m k_i \alpha_i = 0$
提示：注意系数不全为零，但可能部分为正、部分为负。
步骤 2/7
目标：利用内积得到关于系数的方程组
对任意 $j$，计算 $(\beta, \alpha_j) = 0$，即 $\sum_{i=1}^m k_i (\alpha_i, \alpha_j) = 0$。
公式：$\sum_{i=1}^m k_i (\alpha_i, \alpha_j) = 0$
提示：内积的线性性：$(\sum k_i \alpha_i, \alpha_j) = \sum k_i (\alpha_i, \alpha_j)$。
步骤 3/7
目标：将系数按正负分组
令 $I = \{i \mid k_i > 0\}$，$J = \{j \mid k_j < 0\}$。则 $\sum_{i \in I} k_i \alpha_i = -\sum_{j \in J} k_j \alpha_j$。记 $\gamma = \sum_{i \in I} k_i \alpha_i$，则 $\gamma = -\sum_{j \in J} k_j \alpha_j$。
公式：$\gamma = \sum_{i \in I} k_i \alpha_i = -\sum_{j \in J} k_j \alpha_j$
提示：由于系数不全为零，$I$ 和 $J$ 至少有一个非空，但可能两者都非空。
步骤 4/7
目标：计算 $\gamma$ 与自身的内积（利用正系数部分）
计算 $(\gamma, \gamma) = \left( \sum_{i \in I} k_i \alpha_i, \sum_{i' \in I} k_{i'} \alpha_{i'} \right) = \sum_{i \in I} \sum_{i' \in I} k_i k_{i'} (\alpha_i, \alpha_{i'})$。由于 $k_i > 0$，且当 $i \neq i'$ 时 $(\alpha_i, \alpha_{i'}) \leq 0$，而 $(\alpha_i, \alpha_i) > 0$，所以 $(\gamma, \gamma) \leq \sum_{i \in I} k_i^2 (\alpha_i, \alpha_i)$。
公式：$(\gamma, \gamma) = \sum_{i \in I} k_i^2 (\alpha_i, \alpha_i) + \sum_{i \neq i'} k_i k_{i'} (\alpha_i, \alpha_{i'})$
提示：注意交叉项非正，因此不等式方向。
步骤 5/7
目标：计算 $\gamma$ 与自身的内积（利用负系数部分）
由 $\gamma = -\sum_{j \in J} k_j \alpha_j$ 得 $(\gamma, \gamma) = \left( -\sum_{j \in J} k_j \alpha_j, -\sum_{j' \in J} k_{j'} \alpha_{j'} \right) = \sum_{j \in J} \sum_{j' \in J} k_j k_{j'} (\alpha_j, \alpha_{j'})$。由于 $k_j < 0$，所以 $k_j k_{j'} > 0$，且当 $j \neq j'$ 时 $(\alpha_j, \alpha_{j'}) \leq 0$，因此 $(\gamma, \gamma) \leq \sum_{j \in J} k_j^2 (\alpha_j, \alpha_j)$。
公式：$(\gamma, \gamma) = \sum_{j \in J} k_j^2 (\alpha_j, \alpha_j) + \sum_{j \neq j'} k_j k_{j'} (\alpha_j, \alpha_{j'})$
提示：注意 $k_j k_{j'}>0$，交叉项非正。
步骤 6/7
目标：得出 $\gamma$ 非零的结论
由于 $I$ 和 $J$ 至少有一个非空（否则所有 $k_i=0$），且 $\sum_{i \in I} k_i^2 (\alpha_i, \alpha_i) > 0$ 或 $\sum_{j \in J} k_j^2 (\alpha_j, \alpha_j) > 0$，因此 $(\gamma, \gamma) > 0$，即 $\gamma \neq 0$。
公式：$(\gamma, \gamma) > 0$
提示：注意 $\gamma$ 可能为零吗？由内积正定性，若 $\gamma=0$ 则 $(\gamma,\gamma)=0$，但这里得到正数，矛盾。
步骤 7/7
目标：利用 $\alpha$ 的内积条件导出矛盾
计算 $(\gamma, \alpha)$。一方面，$(\gamma, \alpha) = \sum_{i \in I} k_i (\alpha_i, \alpha) > 0$，因为 $k_i > 0$ 且 $(\alpha_i, \alpha) > 0$。另一方面，$(\gamma, \alpha) = -\sum_{j \in J} k_j (\alpha_j, \alpha) > 0$，因为 $-k_j > 0$ 且 $(\alpha_j, \alpha) > 0$。但若 $\gamma = 0$，则 $(\gamma, \alpha) = 0$，与 $>0$ 矛盾。因此假设不成立，$\alpha_1, \dots, \alpha_m$ 线性无关。
公式：$(\gamma, \alpha) = \sum_{i \in I} k_i (\alpha_i, \alpha) > 0$
提示：注意 $\gamma$ 非零但 $(\gamma,\alpha)$ 却同时为正，而 $\gamma=0$ 时内积为零，矛盾。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。