广西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
5．若 $A B=B A$ ，矩阵 $B$ 就称与 $A$ 可交换，则所有与 $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 可交换的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设出未知矩阵B
设 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，要求所有与 $A$ 可交换的矩阵 $B$，即满足 $AB = BA$。设 $B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$，其中 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ 为待定常数。
提示：注意矩阵乘法顺序，$AB$ 与 $BA$ 不同。
步骤 2/6
目标：计算AB
计算 $AB$：
$$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot a+1\cdot d+0\cdot g & 0\cdot b+1\cdot e+0\cdot h & 0\cdot c+1\cdot f+0\cdot i \\ 0\cdot a+0\cdot d+1\cdot g & 0\cdot b+0\cdot e+1\cdot h & 0\cdot c+0\cdot f+1\cdot i \\ 0\cdot a+0\cdot d+0\cdot g & 0\cdot b+0\cdot e+0\cdot h & 0\cdot c+0\cdot f+0\cdot i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
公式：矩阵乘法公式：$(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$
提示：注意第三行全为0，因为A的最后一行全为0。
步骤 3/6
目标：计算BA
计算 $BA$：
$$BA = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0 & a\cdot1+b\cdot0+c\cdot0 & a\cdot0+b\cdot1+c\cdot0 \\ d\cdot0+e\cdot0+f\cdot0 & d\cdot1+e\cdot0+f\cdot0 & d\cdot0+e\cdot1+f\cdot0 \\ g\cdot0+h\cdot0+i\cdot0 & g\cdot1+h\cdot0+i\cdot0 & g\cdot0+h\cdot1+i\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix}$$
公式：矩阵乘法公式
提示：注意BA的第一列全为0，因为A的第一列全为0。
步骤 4/6
目标：建立等式并比较元素
由 $AB = BA$ 得：
$$\begin{pmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix}$$
比较对应位置的元素：
- 第一行第一列：$d = 0$
- 第一行第二列：$e = a$
- 第一行第三列：$f = b$
- 第二行第一列：$g = 0$
- 第二行第二列：$h = d = 0$
- 第二行第三列：$i = e = a$
- 第三行各列自动满足：$0=0$, $0=g=0$, $0=h=0$
提示：注意第三行自动成立，无需额外条件。
步骤 5/6
目标：整理结果
由上述等式得到：$d=0$, $g=0$, $h=0$, $e=a$, $f=b$, $i=a$。其余 $a,b,c$ 为自由参数。因此矩阵 $B$ 的形式为：
$$B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$$
其中 $a,b,c$ 为任意常数（属于基域 $\mathbb{F}$）。
提示：注意 $c$ 是自由的，没有约束条件。
步骤 6/6
目标：验证结果
验证：取 $B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$，计算 $AB$ 和 $BA$：
$$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$$BA = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
两者相等，验证正确。
提示：验证时注意矩阵乘法不要出错。
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