广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1、设 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 均为 $\mathbf{n}$ 阶矩阵，且 $|\mathbf{A}|=\mathbf{2},|\mathbf{B}|=-\mathbf{3}$ ，则 $\left|\mathbf{2} \mathbf{A}^{*} \mathbf{B}^{-\mathbf{1}}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算伴随矩阵的行列式
对于 $n$ 阶矩阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 满足 $|A^*| = |A|^{n-1}$。已知 $|A|=2$，所以 $|A^*| = 2^{n-1}$。
公式：|A^*| = |A|^{n-1}
提示：注意伴随矩阵的行列式公式与矩阵阶数 $n$ 有关，不要忘记指数 $n-1$。
步骤 2/6
目标：计算逆矩阵的行列式
对于可逆矩阵 $B$，其逆矩阵 $B^{-1}$ 的行列式为 $|B^{-1}| = |B|^{-1}$。已知 $|B| = -3$，所以 $|B^{-1}| = -\frac{1}{3}$。
公式：|B^{-1}| = |B|^{-1}
提示：注意行列式是数值，逆矩阵的行列式是原矩阵行列式的倒数。
步骤 3/6
目标：提取常数因子
行列式运算中，常数 $k$ 乘以矩阵 $M$ 时，有 $|kM| = k^n |M|$，其中 $n$ 是矩阵的阶数。因此 $|2 A^* B^{-1}| = 2^n |A^* B^{-1}|$。
公式：|kM| = k^n |M|
提示：注意常数因子要乘以 $n$ 次方，不要漏掉指数 $n$。
步骤 4/6
目标：应用乘积的行列式公式
对于两个同阶方阵 $X$ 和 $Y$，有 $|XY| = |X| \cdot |Y|$。因此 $|A^* B^{-1}| = |A^*| \cdot |B^{-1}|$。
公式：|XY| = |X| \cdot |Y|
提示：注意矩阵乘法顺序不影响行列式乘积，但需保证矩阵可乘。
步骤 5/6
目标：代入已知结果
将 $|A^*| = 2^{n-1}$ 和 $|B^{-1}| = -\frac{1}{3}$ 代入，得 $|A^* B^{-1}| = 2^{n-1} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2^{n-1}}{3}$。
提示：注意符号，负号不要遗漏。
步骤 6/6
目标：合并常数因子
将常数因子 $2^n$ 乘以上一步结果：$|2 A^* B^{-1}| = 2^n \cdot \left(-\frac{2^{n-1}}{3}\right) = -\frac{2^{2n-1}}{3}$。
提示：指数运算：$2^n \cdot 2^{n-1} = 2^{2n-1}$，注意合并指数。
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