📝 广西大学 2025年高等代数真题

1、设 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 均为 $\mathbf{n}$ 阶矩阵，且 $|\mathbf{A}|=\mathbf{2},|\mathbf{B}|=-\mathbf{3}$ ，则 $\left|\mathbf{2} \mathbf{A}^{*} \mathbf{B}^{-\mathbf{1}}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

2、已知向量组 $\alpha_{1}=(3,-2,0)^{T}, \alpha_{2}=(27,-18,0)^{T}, \alpha_{3}=(-1,5,8)^{T}$ ，则该向量组的秩为 $\_\_\_\_$ ；极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．

3、已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

4、已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+k x_{2}{ }^{2}+(k-2) x_{3}{ }^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 正定，则 $k$的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

5、设 $f(x)=x^{4}-5 x^{3}+a x^{2}+b x+9 \in \mathbb{C}[x]$ ，如果 3 是 $f(x)$ 的二重根，则 $a=$ $\_\_\_\_$ , $\mathbf{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

6、设 $V$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 为 $V$ 的子空间，且

$$
\operatorname{dim}(V)=9, \operatorname{dim}\left(V_{1}\right)=5, \operatorname{dim}\left(V_{2}\right)=6 .
$$

则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

7、设线性变换 在 $V$ 的一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & 1\end{array}\right)$ ，则． 2 的全部特征值是 $\_\_\_\_$。

8．欧氏空间 $V$ 的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 且 $\beta=2 \alpha_{1}-\alpha_{2} +\alpha_{3}$ ，则 $|\beta|=$ $\_\_\_\_$ ．

七、（16 分）$\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是从 $V$ 到 $\displaystyle \sigma$ 像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma$ 的正交投影．

三、（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的一个 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是： $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式 $\displaystyle \left|\mathbf{\lambda} \mathbf{E}_{n}-\mathbf{A}\right|$ 在复数域中的全部根都属于数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 数学
（从而每个根都是 $A$ 的特征值），并且每一根 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$ 的重数等于 $A$ 的属于特征值 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$的特征子空间的维数．

二、（15分）求 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}{ }^{2} & x_{2}{ }^{2} & x_{3}{ }^{2} & x_{4}{ }^{2} & \cdots & x_{n}{ }^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1}{ }^{n-2} & x_{2}{ }^{n-2} & x_{3}{ }^{n-2} & x_{4}{ }^{n-2} & \cdots & x_{n}{ }^{n-2} \\ x_{1}{ }^{n-1} & x_{2}{ }^{n-1} & x_{3}{ }^{n-1} & x_{4}{ }^{n-1} & \cdots & x_{n}{ }^{n-1}\end{array}\right|,(n \geq 2)$ ．

五、（15 分）已知 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，满足：$\displaystyle A B=B A$ ，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{T} A T, T^{T} B T$ 同时为对角矩阵。

八、（10 分）$A$ 为 $n$ 级矩阵，$E$ 为 $n$ 级单位矩阵，$\displaystyle A^{4}=E$ ，证明：

$$
r(E-A)+r\left(E+A+A^{2}+A^{3}\right)=n .
$$

六、（16分）设 $V$ 是数域 $K$ 上三维线性空间，$V$ 上线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$下的矩阵 $A$ 为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ．
（2）对应于 $\displaystyle m(x)$ 的因式分解，写出 $V$ 的直和分解式，并且求出分解式中出现的每个子空间的一个基．

四、（15 分）证明：设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0},\left(a_{n} \neq 0\right)$是整系数多项式，若有素数 $p$ ，使得：（a）$\displaystyle p \mid a_{i},(i=0,1,2, \cdots, n-1)$ ；
（b）$\displaystyle p \dagger a_{n}$ ；（c）$\displaystyle p^{2} \dagger a_{0}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约。