广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5、设 $f(x)=x^{4}-5 x^{3}+a x^{2}+b x+9 \in \mathbb{C}[x]$ ，如果 3 是 $f(x)$ 的二重根，则 $a=$ $\_\_\_\_$ , $\mathbf{b}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解二重根条件
若 $3$ 是 $f(x)$ 的二重根，则 $f(3)=0$ 且 $f'(3)=0$。
提示：注意二重根要求导数也为零，不要遗漏条件。
步骤 2/7
目标：计算导数
对 $f(x)=x^{4}-5x^{3}+ax^{2}+bx+9$ 求导得：
$$f'(x)=4x^{3}-15x^{2}+2ax+b.$$
公式：导数公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$
提示：注意 $ax^2$ 的导数为 $2ax$，$bx$ 的导数为 $b$，常数项导数为0。
步骤 3/7
目标：代入 $x=3$ 到 $f(x)$
由 $f(3)=0$ 得：
$$3^4-5\cdot3^3+a\cdot3^2+3b+9=0$$
计算：$81-135+9a+3b+9=0$，化简得 $9a+3b-45=0$，除以3得 $3a+b-15=0$，即 $b=15-3a$。
提示：注意 $3b$ 是 $b\cdot3$，不要写成 $b$。
步骤 4/7
目标：代入 $x=3$ 到 $f'(x)$
由 $f'(3)=0$ 得：
$$4\cdot3^3-15\cdot3^2+2a\cdot3+b=0$$
计算：$108-135+6a+b=0$，化简得 $6a+b-27=0$，即 $b=27-6a$。
提示：注意 $2a\cdot3=6a$，不要漏乘。
步骤 5/7
目标：联立方程求解 $a$
由 $b=15-3a$ 和 $b=27-6a$ 得：
$$15-3a=27-6a$$
移项：$-3a+6a=27-15$，即 $3a=12$，解得 $a=4$。
提示：移项时注意符号变化。
步骤 6/7
目标：求解 $b$
将 $a=4$ 代入 $b=15-3a$ 得：
$$b=15-3\cdot4=15-12=3.$$
提示：也可代入另一式验证：$b=27-6\cdot4=27-24=3$，结果一致。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此 $a=4$，$b=3$。
提示：检查：将 $a,b$ 代回原多项式，验证 $f(3)=0$ 且 $f'(3)=0$。
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