广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
6、设 $V$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 为 $V$ 的子空间，且
$$
\operatorname{dim}(V)=9, \operatorname{dim}\left(V_{1}\right)=5, \operatorname{dim}\left(V_{2}\right)=6 .
$$
则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾维数公式
对于线性空间 $V$ 的子空间 $V_1$ 和 $V_2$，维数公式为：
$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2).$$
公式：\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)
提示：注意维数公式中交空间维数的符号是减号，不要记错。
步骤 2/6
目标：代入已知维数
已知 $\dim V_1 = 5$，$\dim V_2 = 6$，代入维数公式得：
$$\dim(V_1 + V_2) = 5 + 6 - \dim(V_1 \cap V_2) = 11 - \dim(V_1 \cap V_2).$$
提示：代入时注意数值正确。
步骤 3/6
目标：利用包含关系得到不等式
由于 $V_1 + V_2$ 是 $V$ 的子空间，所以 $\dim(V_1 + V_2) \leq \dim V = 9$。因此：
$$11 - \dim(V_1 \cap V_2) \leq 9.$$
公式：\dim(V_1 + V_2) \leq \dim V
提示：注意子空间的维数不超过原空间的维数。
步骤 4/6
目标：解不等式求交空间维数下界
由 $11 - \dim(V_1 \cap V_2) \leq 9$ 移项得：
$$-\dim(V_1 \cap V_2) \leq 9 - 11 = -2,$$
两边乘以 $-1$ 得：
$$\dim(V_1 \cap V_2) \geq 2.$$
提示：不等式两边乘以负数时不等号方向要改变。
步骤 5/6
目标：判断最小值是否可达
当 $\dim(V_1 \cap V_2) = 2$ 时，$\dim(V_1 + V_2) = 11 - 2 = 9$，等于 $\dim V$，此时 $V_1 + V_2 = V$。这是可能的，例如取 $V = \mathbb{K}^9$，$V_1$ 为前5个基向量张成的空间，$V_2$ 为后6个基向量张成的空间，则 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$（维数为0），但我们需要维数2。实际上，可以构造 $V_1$ 和 $V_2$ 使得交空间维数为2，例如让 $V_1$ 包含 $e_1,e_2,e_3,e_4,e_5$，$V_2$ 包含 $e_4,e_5,e_6,e_7,e_8,e_9$，则交空间为 $\text{span}\{e_4,e_5\}$，维数为2，且 $V_1+V_2=V$。因此最小值2可达。
提示：需要验证最小值是否能够取到，通常通过构造例子说明。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $\dim(V_1 \cap V_2)$ 的最小值为 $2$。
提示：最终答案是一个数值，注意不要遗漏。
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