广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
4、已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+k x_{2}{ }^{2}+(k-2) x_{3}{ }^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 正定，则 $k$的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + k x_2^2 + (k-2)x_3^2 + 2x_1x_2$ 的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 \\ 0 & 0 & k-2 \end{pmatrix}$。注意：交叉项 $2x_1x_2$ 的系数2平分到矩阵的对称位置，即 $a_{12}=a_{21}=1$。
公式：二次型 $f=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$ 满足 $a_{ij}=a_{ji}$，且 $f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$。
提示：注意交叉项系数要平分到对称位置，例如 $2x_1x_2$ 对应 $a_{12}=a_{21}=1$，而不是2。
步骤 2/6
目标：回忆正定二次型的判别条件
实二次型正定的充要条件是它的矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式都大于零。即 $\Delta_1>0, \Delta_2>0, \Delta_3>0$。
公式：顺序主子式：$\Delta_k = \det(A_k)$，其中 $A_k$ 是 $A$ 的前 $k$ 行 $k$ 列子矩阵。
提示：顺序主子式必须全部大于零，缺一不可。
步骤 3/6
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = 1 > 0$，自动满足。
提示：一阶主子式就是矩阵的第一个对角元，这里为1，恒正。
步骤 4/6
目标：计算二阶顺序主子式并求解不等式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = 1\cdot k - 1\cdot 1 = k-1$。由 $\Delta_2 > 0$ 得 $k > 1$。
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。
提示：计算行列式时注意符号，不要漏掉负号。
步骤 5/6
目标：计算三阶顺序主子式并求解不等式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 \\ 0 & 0 & k-2 \end{vmatrix}$。利用分块矩阵或按第三行展开：$\Delta_3 = (k-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = (k-2)(k-1)$。由 $\Delta_3 > 0$ 得 $(k-2)(k-1) > 0$，解得 $k > 2$ 或 $k < 1$。
公式：行列式按行展开：$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$。或利用分块对角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积。
提示：注意 $(k-2)(k-1)>0$ 的解是 $k>2$ 或 $k<1$，不要写成 $k>2$ 且 $k>1$。
步骤 6/6
目标：综合各阶主子式条件，确定k的取值范围
由 $\Delta_2>0$ 得 $k>1$；由 $\Delta_3>0$ 得 $k>2$ 或 $k<1$。取交集：$k>1$ 与 $(k>2$ 或 $k<1)$ 的交集是 $k>2$。因此 $k$ 的取值范围为 $k>2$。
提示：取交集时注意数轴上的区间，$k>1$ 与 $k<1$ 无交集，所以只能取 $k>2$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。