广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的一个 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是： $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式 $\displaystyle \left|\mathbf{\lambda} \mathbf{E}_{n}-\mathbf{A}\right|$ 在复数域中的全部根都属于数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 数学
（从而每个根都是 $A$ 的特征值），并且每一根 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$ 的重数等于 $A$ 的属于特征值 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$的特征子空间的维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解可对角化的定义
矩阵 $A$ 可对角化是指存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵，且对角元属于数域 $\mathbb{K}$。这等价于 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，每个特征向量属于 $\mathbb{K}$ 上的特征值。
提示：注意特征向量必须属于 $\mathbb{K}^n$，特征值属于 $\mathbb{K}$。
步骤 2/7
目标：必要性证明：假设可对角化，推导特征多项式根在 $\mathbb{K}$ 中
若 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中 $\lambda_i \in \mathbb{K}$。于是 $A$ 的特征多项式为 $|\lambda E_n - A| = \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)$，其根 $\lambda_i$ 都属于 $\mathbb{K}$。
公式：|\lambda E_n - A| = \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)
提示：对角化后特征多项式容易计算，注意对角矩阵的特征值即对角元。
步骤 3/7
目标：必要性证明：推导几何重数等于代数重数
由于 $A$ 可对角化，每个特征值 $\lambda_i$ 的几何重数（特征子空间维数）等于代数重数（特征多项式中根的重数）。这是因为可对角化时，特征子空间的维数之和为 $n$，而代数重数之和也为 $n$，且每个几何重数不超过代数重数，故相等。
公式：\dim V_{\lambda_i} = m_i
提示：几何重数等于代数重数是可对角化的等价条件之一，但这里需要从可对角化推出该等式。
步骤 4/7
目标：充分性条件解读
假设 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda) = |\lambda E_n - A|$ 在复数域中的全部根都属于 $\mathbb{K}$，且每个根 $\lambda_i$ 的重数 $m_i$ 等于 $A$ 的属于 $\lambda_i$ 的特征子空间的维数。这意味着 $f(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上可分解为一次因式的乘积：$f(\lambda) = \prod_{i=1}^r (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$，其中 $\lambda_i \in \mathbb{K}$ 互异，$\sum m_i = n$。
公式：f(\lambda) = \prod_{i=1}^r (\lambda - \lambda_i)^{m_i}
提示：注意根都在 $\mathbb{K}$ 中，所以特征多项式在 $\mathbb{K}$ 上完全分解。
步骤 5/7
目标：充分性证明：构造线性无关的特征向量组
由条件，每个特征值 $\lambda_i$ 的几何重数 $\dim V_{\lambda_i} = m_i$。取每个特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 的一组基，共得到 $\sum m_i = n$ 个向量。由于不同特征值的特征向量线性无关，这些向量构成 $\mathbb{K}^n$ 的一组基，即 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
提示：不同特征值的特征向量线性无关是线性代数中的基本定理，需确保特征向量属于 $\mathbb{K}^n$。
步骤 6/7
目标：充分性结论：矩阵可对角化
以这 $n$ 个线性无关的特征向量为列构成矩阵 $P$，则 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$（按对应顺序），其中每个 $\lambda_i$ 重复 $m_i$ 次。因此 $A$ 可对角化。
公式：P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
提示：注意对角矩阵的对角元顺序与 $P$ 的列向量顺序一致。
步骤 7/7
目标：总结充要条件
综上，$A$ 可对角化的充要条件是：特征多项式的所有根属于 $\mathbb{K}$，且每个特征值的代数重数等于几何重数。
提示：该条件等价于特征多项式在 $\mathbb{K}$ 上可分解为一次因式乘积且每个特征值的几何重数等于代数重数。
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