广西大学 2025年高等代数第0题

已知 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换，即 $\sigma^* = \sigma$，且 $\sigma^2 = \sigma$。需要证明 $\sigma$ 是从 $V$ 到 $\operatorname{Im}\sigma$ 的正交投影，即 $\sigma$ 是幂等自伴算子，且 $\operatorname{Im}\sigma \perp \ker\sigma$，$V = \operatorname{Im}\sigma \oplus \ker\sigma$。

由条件 $\sigma^2 = \sigma$ 直接可得 $\sigma$ 是幂等变换。

由于 $\sigma$ 是对称变换，即 $\sigma^* = \sigma$，故 $\sigma$ 是自伴算子。

对任意 $x \in V$，令 $y = \sigma(x) \in \operatorname{Im}\sigma$。考虑 $x - y$，计算 $\sigma(x - y) = \sigma(x) - \sigma^2(x) = \sigma(x) - \sigma(x) = 0$，故 $x - y \in \ker\sigma$。因此 $x = y + (x - y) \in \operatorname{Im}\sigma + \ker\sigma$，即 $V = \operatorname{Im}\sigma + \ker\sigma$。

对任意 $u \in \operatorname{Im}\sigma$，$v \in \ker\sigma$，存在 $w \in V$ 使得 $u = \sigma(w)$。则内积 $(u, v) = (\sigma(w), v) = (w, \sigma(v))$（由对称性），而 $\sigma(v) = 0$，故 $(u, v) = 0$。因此 $\operatorname{Im}\sigma \perp \ker\sigma$。

由 $V = \operatorname{Im}\sigma + \ker\sigma$ 及 $\operatorname{Im}\sigma \perp \ker\sigma$，且 $\operatorname{Im}\sigma \cap \ker\sigma = \{0\}$（因为若 $x \in \operatorname{Im}\sigma \cap \ker\sigma$，则 $x = \sigma(y)$ 且 $\sigma(x)=0$，从而 $x = \sigma(y) = \sigma^2(y) = \sigma(\sigma(y)) = \sigma(x)=0$），故 $V = \operatorname{Im}\sigma \oplus \ker\sigma$ 为正交直和。

由于 $\sigma$ 是幂等自伴算子，且 $V = \operatorname{Im}\sigma \oplus \ker\sigma$ 为正交直和，故 $\sigma$ 是到 $\operatorname{Im}\sigma$ 的正交投影。