广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2、已知向量组 $\alpha_{1}=(3,-2,0)^{T}, \alpha_{2}=(27,-18,0)^{T}, \alpha_{3}=(-1,5,8)^{T}$ ，则该向量组的秩为 $\_\_\_\_$ ；极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将向量组写成矩阵形式
将向量组 $\alpha_1=(3,-2,0)^T$, $\alpha_2=(27,-18,0)^T$, $\alpha_3=(-1,5,8)^T$ 按列排成矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 27 & -1 \\ -2 & -18 & 5 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$
提示：注意向量是列向量，按列排列。
步骤 2/5
目标：对矩阵进行初等行变换（第一步）
将第一行乘以 $\frac{2}{3}$ 加到第二行，即 $R_2 \leftarrow R_2 + \frac{2}{3}R_1$：
$$\begin{pmatrix} 3 & 27 & -1 \\ -2 & -18 & 5 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 + \frac{2}{3}R_1} \begin{pmatrix} 3 & 27 & -1 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$
提示：注意分数运算，$\frac{2}{3} \times (-1) + 5 = \frac{13}{3}$。
步骤 3/5
目标：对矩阵进行初等行变换（第二步）
将第二行乘以 $\frac{24}{13}$ 加到第三行，即 $R_3 \leftarrow R_3 - \frac{24}{13}R_2$：
$$\begin{pmatrix} 3 & 27 & -1 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - \frac{24}{13}R_2} \begin{pmatrix} 3 & 27 & -1 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：计算 $8 - \frac{24}{13} \times \frac{13}{3} = 8 - 8 = 0$。
步骤 4/5
目标：确定矩阵的秩
行阶梯形矩阵有2个非零行，所以矩阵的秩为2，即向量组的秩为2。
公式：秩 = 非零行数
提示：秩等于行阶梯形矩阵中非零行的个数。
步骤 5/5
目标：找出极大线性无关组
行阶梯形矩阵中，主元位于第1列和第3列，因此对应的向量 $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 构成一个极大线性无关组。注意 $\alpha_2 = 9\alpha_1$，所以 $\alpha_2$ 可由 $\alpha_1$ 线性表示。
提示：极大线性无关组不唯一，但通常取主元列对应的向量。
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