广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
八、（10 分）$A$ 为 $n$ 级矩阵，$E$ 为 $n$ 级单位矩阵，$\displaystyle A^{4}=E$ ，证明：
$$
r(E-A)+r\left(E+A+A^{2}+A^{3}\right)=n .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由条件推导矩阵乘积为零
由 $A^4 = E$ 得 $A^4 - E = 0$，因式分解得 $(A - E)(A^3 + A^2 + A + E) = 0$。令 $B = E - A$，$C = E + A + A^2 + A^3$，则 $BC = (E - A)(E + A + A^2 + A^3) = E - A^4 = 0$。
公式：$BC = 0$
提示：注意 $B = E - A$ 与 $A - E$ 相差一个负号，但乘积为零的性质不变。
步骤 2/7
目标：利用乘积为零得到第一个不等式
由 $BC = 0$ 知 $\operatorname{Im}(C) \subseteq \operatorname{Ker}(B)$，因此 $\operatorname{rank}(C) \leq \dim \operatorname{Ker}(B) = n - \operatorname{rank}(B)$，即 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \leq n$。
公式：$\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \leq n$
提示：注意秩与零度关系：$\dim \operatorname{Ker}(B) = n - \operatorname{rank}(B)$。
步骤 3/7
目标：分析特征值并判断多项式互素
由 $A^4 = E$ 知 $A$ 的特征值均为四次单位根：$\lambda \in \{1, -1, i, -i\}$。考虑多项式 $f(x) = 1 - x$ 和 $g(x) = 1 + x + x^2 + x^3$。当 $\lambda = 1$ 时，$f(1)=0$，$g(1)=4 \neq 0$；当 $\lambda = -1$ 时，$f(-1)=2 \neq 0$，$g(-1)=0$；当 $\lambda = \pm i$ 时，$f(\lambda) \neq 0$，$g(\lambda)=0$（因为 $1 + i + i^2 + i^3 = 0$，$1 - i + (-1) + i = 0$）。因此 $f(x)$ 与 $g(x)$ 无公共根，故互素。
公式：$f(x)$ 与 $g(x)$ 互素
提示：注意检查所有四次单位根，确保没有公共根。
步骤 4/7
目标：利用互素得到矩阵恒等式
由于 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。代入 $A$ 得 $u(A)(E - A) + v(A)(E + A + A^2 + A^3) = E$。
公式：$u(A)(E - A) + v(A)C = E$
提示：注意 $f(A) = E - A$，$g(A) = C$。
步骤 5/7
目标：证明核空间交为零
对任意 $x \in \mathbb{C}^n$，由恒等式有 $x = u(A)(E - A)x + v(A)Cx$。若 $x \in \operatorname{Ker}(B) \cap \operatorname{Ker}(C)$，则 $(E - A)x = 0$ 且 $Cx = 0$，代入得 $x = 0$，故 $\operatorname{Ker}(B) \cap \operatorname{Ker}(C) = \{0\}$。
公式：$\operatorname{Ker}(B) \cap \operatorname{Ker}(C) = \{0\}$
提示：注意 $B = E - A$，所以 $\operatorname{Ker}(B) = \operatorname{Ker}(E - A)$。
步骤 6/7
目标：利用维数公式得到第二个不等式
由 $\operatorname{Ker}(B) \cap \operatorname{Ker}(C) = \{0\}$ 及维数公式，$\dim \operatorname{Ker}(B) + \dim \operatorname{Ker}(C) \leq n$。代入 $\dim \operatorname{Ker}(B) = n - \operatorname{rank}(B)$，$\dim \operatorname{Ker}(C) = n - \operatorname{rank}(C)$，得 $(n - \operatorname{rank}(B)) + (n - \operatorname{rank}(C)) \leq n$，整理得 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \geq n$。
公式：$\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \geq n$
提示：注意维数公式：$\dim(U \cap V) \leq \dim U + \dim V - \dim (U+V)$，但这里直接利用交为零得到和不超过全空间维数。
步骤 7/7
目标：综合两个不等式得到等式
由第一步得 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \leq n$，由第六步得 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \geq n$，因此 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) = n$，即 $r(E - A) + r(E + A + A^2 + A^3) = n$。
公式：$r(E - A) + r(E + A + A^2 + A^3) = n$
提示：注意秩是整数，所以两个不等式结合即得等式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。