广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
7、设线性变换 在 $V$ 的一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & 1\end{array}\right)$ ，则． 2 的全部特征值是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出特征多项式
设线性变换在基下的矩阵为 $A$，则特征多项式为 $\det(\lambda I - A)$。代入 $A$ 得：
$$\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix}\lambda-2 & 2 & -2 \\ 2 & \lambda+1 & -4 \\ -2 & -4 & \lambda-1\end{pmatrix}.$$
公式：$\det(\lambda I - A)$
提示：注意符号：$\lambda I - A$ 中 $A$ 的元素要取负号。
步骤 2/8
目标：计算三阶行列式
按第一行展开：
$$\begin{aligned} \det(\lambda I - A) &= (\lambda-2)\begin{vmatrix}\lambda+1 & -4 \\ -4 & \lambda-1\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}2 & -4 \\ -2 & \lambda-1\end{vmatrix} + (-2)\begin{vmatrix}2 & \lambda+1 \\ -2 & -4\end{vmatrix}. \end{aligned}$$
公式：行列式展开公式
提示：注意正负号：第二项系数为 $-2$，第三项系数为 $(-2)$。
步骤 3/8
目标：计算各二阶行列式
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix}\lambda+1 & -4 \\ -4 & \lambda-1\end{vmatrix} &= (\lambda+1)(\lambda-1) - 16 = \lambda^2 - 17, \\ \begin{vmatrix}2 & -4 \\ -2 & \lambda-1\end{vmatrix} &= 2(\lambda-1) - (-4)(-2) = 2\lambda - 10, \\ \begin{vmatrix}2 & \lambda+1 \\ -2 & -4\end{vmatrix} &= 2(-4) - (\lambda+1)(-2) = -8 + 2\lambda + 2 = 2\lambda - 6. \end{aligned}$$
公式：二阶行列式公式 $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc$
提示：注意乘法符号，避免计算错误。
步骤 4/8
目标：代入并化简
代入得：
$$\begin{aligned} \det(\lambda I - A) &= (\lambda-2)(\lambda^2-17) - 2(2\lambda-10) + (-2)(2\lambda-6) \\ &= (\lambda-2)(\lambda^2-17) - 4\lambda + 20 - 4\lambda + 12 \\ &= (\lambda-2)(\lambda^2-17) - 8\lambda + 32. \end{aligned}$$
提示：合并同类项时注意符号。
步骤 5/8
目标：展开多项式
展开 $(\lambda-2)(\lambda^2-17) = \lambda^3 - 2\lambda^2 - 17\lambda + 34$，再减去 $8\lambda$ 并加上 $32$：
$$\lambda^3 - 2\lambda^2 - 17\lambda + 34 - 8\lambda + 32 = \lambda^3 - 2\lambda^2 - 25\lambda + 66.$$
提示：注意 $-17\lambda - 8\lambda = -25\lambda$，常数 $34+32=66$。
步骤 6/8
目标：求解特征方程
令特征多项式为零：$\lambda^3 - 2\lambda^2 - 25\lambda + 66 = 0$。试根：$\lambda=3$ 代入得 $27 - 18 - 75 + 66 = 0$，所以 $\lambda=3$ 是一个根。因式分解得：$(\lambda-3)(\lambda^2+\lambda-22)=0$。
公式：因式定理
提示：试根时优先尝试整数因子，如 $\pm1, \pm2, \pm3$ 等。
步骤 7/8
目标：解二次方程
解 $\lambda^2+\lambda-22=0$，判别式 $\Delta = 1+88=89$，得：
$$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{89}}{2}.$$
公式：一元二次方程求根公式 $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
提示：注意判别式 $\Delta = b^2-4ac$，此处 $a=1, b=1, c=-22$。
步骤 8/8
目标：写出全部特征值
因此，线性变换的全部特征值为：
$$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = \frac{-1+\sqrt{89}}{2}, \quad \lambda_3 = \frac{-1-\sqrt{89}}{2}.$$
提示：特征值包括所有根，注意不要遗漏。
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