广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
8．欧氏空间 $V$ 的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 且 $\beta=2 \alpha_{1}-\alpha_{2} +\alpha_{3}$ ，则 $|\beta|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出β在基下的坐标
已知 $\beta = 2\alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3$，所以 $\beta$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标向量为 $x = (2, -1, 1)^T$。
提示：注意坐标向量的顺序与基的顺序一致，系数对应正确。
步骤 2/6
目标：写出度量矩阵
度量矩阵 $G$ 由题目给出：$G = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：度量矩阵是对称矩阵，注意元素位置。
步骤 3/6
目标：计算长度平方的公式
向量 $\beta$ 的长度平方为 $|\beta|^2 = x^T G x$，其中 $x$ 是坐标列向量。
公式：$|\beta|^2 = x^T G x$
提示：注意是坐标向量转置乘以度量矩阵再乘以坐标向量。
步骤 4/6
目标：计算 x^T G
先计算 $x^T G$：
$$x^T G = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + (-1)\cdot0 + 1\cdot(-1) & 2\cdot0 + (-1)\cdot4 + 1\cdot0 & 2\cdot(-1) + (-1)\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -4 & -1 \end{pmatrix}$$
提示：矩阵乘法时注意行乘列，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：计算 x^T G x
将上一步结果乘以坐标向量 $x$：
$$x^T G x = \begin{pmatrix} 3 & -4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3\cdot2 + (-4)\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = 6 + 4 - 1 = 9$$
提示：注意符号：(-4)*(-1)=4，(-1)*1=-1。
步骤 6/6
目标：求长度
由 $|\beta|^2 = 9$，得 $|\beta| = \sqrt{9} = 3$。
公式：$|\beta| = \sqrt{x^T G x}$
提示：长度取正值，不要遗漏根号。
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