广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二、（15分）求 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}{ }^{2} & x_{2}{ }^{2} & x_{3}{ }^{2} & x_{4}{ }^{2} & \cdots & x_{n}{ }^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1}{ }^{n-2} & x_{2}{ }^{n-2} & x_{3}{ }^{n-2} & x_{4}{ }^{n-2} & \cdots & x_{n}{ }^{n-2} \\ x_{1}{ }^{n-1} & x_{2}{ }^{n-1} & x_{3}{ }^{n-1} & x_{4}{ }^{n-1} & \cdots & x_{n}{ }^{n-1}\end{array}\right|,(n \geq 2)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别行列式结构
观察行列式 $D_n$，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $x_j^{i-1}$，其中 $i=1,\dots,n$，$j=1,\dots,n$。因此，$D_n$ 是范德蒙德行列式的转置。
提示：注意行和列的对应关系：行指数从0到n-1，列对应不同的变量。
步骤 2/4
目标：回忆范德蒙德行列式公式
标准范德蒙德行列式为 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$，其值为 $\prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)$。
公式：\prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)
提示：注意乘积的下标：$j < i$，且是 $x_i - x_j$，顺序不能颠倒。
步骤 3/4
目标：应用公式到本题
由于 $D_n$ 是上述范德蒙德行列式的转置，而行列式的转置值不变，因此 $D_n$ 的值等于标准范德蒙德行列式的值。
提示：转置不改变行列式的值，这是行列式的基本性质。
步骤 4/4
目标：写出最终结果
因此，$D_n = \prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)$。
公式：\prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)
提示：确保乘积范围覆盖所有 $i>j$ 的组合。
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