广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3、已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察矩阵结构，选择分块方法
矩阵 $A$ 具有明显的分块结构：左上角和右下角是 $2\times2$ 零矩阵，右上角和左下角是 $2\times2$ 非零矩阵。因此，将 $A$ 分块为 $A = \begin{pmatrix} O & B \\ C & O \end{pmatrix}$，其中 $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$。
提示：注意分块矩阵的维度必须匹配，这里每个子块都是 $2\times2$ 矩阵。
步骤 2/6
目标：利用分块矩阵求逆公式
对于形如 $\begin{pmatrix} O & B \\ C & O \end{pmatrix}$ 的矩阵，若 $B$ 和 $C$ 可逆，则其逆矩阵为 $\begin{pmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{pmatrix}$。这是因为 $\begin{pmatrix} O & B \\ C & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} O & B \\ C & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{pmatrix}$
提示：注意公式中 $B$ 和 $C$ 的位置互换，容易混淆。
步骤 3/6
目标：计算子块 $B$ 的逆矩阵
对于 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，先求行列式：$\det(B) = 1\cdot3 - 2\cdot1 = 1$。由于行列式不为零，$B$ 可逆。利用二阶矩阵逆公式：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$，得 $B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
提示：注意二阶矩阵逆公式中主对角线交换，副对角线变号。
步骤 4/6
目标：计算子块 $C$ 的逆矩阵
对于 $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$，先求行列式：$\det(C) = 2\cdot3 - 1\cdot5 = 1$。利用二阶矩阵逆公式，得 $C^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
提示：计算行列式时注意不要算错，这里 $ad-bc=6-5=1$。
步骤 5/6
目标：组装得到 $A^{-1}$
根据分块求逆公式，$A^{-1} = \begin{pmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{pmatrix}$。将 $O$、$B^{-1}$、$C^{-1}$ 代入，得 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -5 & 2 \\ 3 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意子块放置的位置：左上角是零矩阵，右上角是 $C^{-1}$，左下角是 $B^{-1}$，右下角是零矩阵。
步骤 6/6
目标：验证结果（可选）
为确认结果正确，可计算 $A \cdot A^{-1}$ 是否为单位矩阵。例如，计算第一行乘第一列：$0\cdot0+0\cdot0+1\cdot3+2\cdot(-1)=3-2=1$，其他元素类似，结果应为单位矩阵。
提示：验证时只需检查几个关键元素，不必全部计算。
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