广西大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
六、（16分）设 $V$ 是数域 $K$ 上三维线性空间，$V$ 上线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$下的矩阵 $A$ 为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ．
（2）对应于 $\displaystyle m(x)$ 的因式分解，写出 $V$ 的直和分解式，并且求出分解式中出现的每个子空间的一个基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求特征多项式
由矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$，计算特征多项式 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\begin{vmatrix}\lambda-1 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ 1 & 0 & \lambda-1\end{vmatrix}$。按第一行展开：$(\lambda-1)\begin{vmatrix}\lambda-2 & -1 \\ 0 & \lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-1)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)$。
公式：$f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$
提示：注意行列式展开时不要漏项，按第一行展开时，第一行只有第一个元素非零。
步骤 2/8
目标：判断最小多项式形式
最小多项式 $m(\lambda)$ 是特征多项式的因子，且包含所有特征值。由于特征值为1（代数重数2）和2（代数重数1），$m(\lambda)$ 可能为 $(\lambda-1)(\lambda-2)$ 或 $(\lambda-1)^2(\lambda-2)$。需检查 $A$ 是否可对角化，即特征值1的几何重数。
提示：最小多项式是特征多项式的因子，且每个特征值对应的根子空间的最小多项式次数等于该特征值对应的最大Jordan块阶数。
步骤 3/8
目标：计算特征值1的几何重数
计算 $(A-I)$ 的秩：$A-I=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&1&1\\-1&0&0\end{pmatrix}$。行变换：第二行减第一行？实际上直接观察：第一行全零，第二行和第三行线性无关（因为第二行第三列1，第三行第三列0），所以秩为2。因此特征值1的几何重数为 $3-\text{rank}(A-I)=1$，小于代数重数2，故 $A$ 不可对角化，最小多项式必须包含 $(\lambda-1)^2$。
公式：$\text{几何重数}=\dim\ker(A-\lambda I)=n-\text{rank}(A-\lambda I)$
提示：几何重数等于特征子空间的维数，若小于代数重数，则矩阵不可对角化。
步骤 4/8
目标：确定最小多项式
由于特征值1的几何重数为1，其Jordan块最大阶数为2，故最小多项式为 $m(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)$。
提示：最小多项式次数等于所有特征值对应的最大Jordan块阶数之和。
步骤 5/8
目标：写出直和分解式
由最小多项式分解 $m(x)=(x-1)^2(x-2)$，得 $V$ 的根子空间分解：$V=V_1\oplus V_2$，其中 $V_1=\ker(A-I)^2$ 是特征值1的根子空间，$V_2=\ker(A-2I)$ 是特征值2的根子空间。
公式：$V=\bigoplus_{\lambda}\ker(A-\lambda I)^{m_\lambda}$，其中 $m_\lambda$ 是特征值 $\lambda$ 在最小多项式中的指数。
提示：根子空间是广义特征空间，直和分解唯一。
步骤 6/8
目标：求 $V_2$ 的基
解 $(A-2I)x=0$：$A-2I=\begin{pmatrix}-1&0&0\\1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}$。方程组：$-x_1=0$，$x_1+x_3=0$，$-x_1-x_3=0$，得 $x_1=0$，$x_3=0$，$x_2$ 自由。取 $x_2=1$，得基向量 $(0,1,0)^T$，对应原基为 $\alpha_2$。所以 $V_2=\operatorname{span}\{\alpha_2\}$。
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取。
步骤 7/8
目标：求 $V_1$ 的基
先计算 $(A-I)^2$：$(A-I)=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&1&1\\-1&0&0\end{pmatrix}$，平方得 $(A-I)^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$。解 $(A-I)^2x=0$，即 $x_2+x_3=0$，得 $x_1,x_2$ 自由，$x_3=-x_2$。取 $x_1=1,x_2=0$ 得 $(1,0,0)^T$；取 $x_1=0,x_2=1$ 得 $(0,1,-1)^T$。对应原基为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2-\alpha_3$。所以 $V_1=\operatorname{span}\{\alpha_1,\alpha_2-\alpha_3\}$。
提示：注意 $(A-I)^2$ 不是零矩阵，需正确计算。解空间维数等于代数重数2。
步骤 8/8
目标：总结直和分解
因此，$V=V_1\oplus V_2$，其中 $V_1$ 的基为 $\alpha_1,\alpha_2-\alpha_3$，$V_2$ 的基为 $\alpha_2$。
提示：直和分解中，两个子空间的交为零，且维数之和为3。
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