广西民族大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
1．$\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 & 2\end{array}\right|$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：选择展开方式
观察行列式，第二行只有一个非零元素1位于第3列，因此按第二行展开较为简便。行列式值等于该元素乘以它的代数余子式：\((-1)^{2+3} \times 1 \times M_{23}\)，其中\(M_{23}\)是去掉第二行第三列后的子式。
公式：行列式按行展开公式：\(\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}\)
提示：注意代数余子式的符号\((-1)^{i+j}\)，不要忘记负号。
步骤 2/5
目标：计算代数余子式符号
计算符号：\((-1)^{2+3} = (-1)^5 = -1\)，所以原行列式等于 \(-M_{23}\)。
提示：指数2+3=5为奇数，结果为-1。
步骤 3/5
目标：写出余子式并化简
余子式\(M_{23}\)是去掉原行列式第2行第3列后的3阶行列式：
\[
M_{23} = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}
\]
观察此行列式，第二列只有一个非零元素-1位于第三行，因此按第二列展开。
提示：余子式是去掉指定行和列后剩下的元素按原顺序排列。
步骤 4/5
目标：计算3阶行列式
按第二列展开：非零元素为\(a_{32} = -1\)，位于第3行第2列，代数余子式为\((-1)^{3+2} \times (-1) \times M_{32}'\)，其中\(M_{32}'\)是去掉第3行第2列后的2阶子式：
\[
M_{32}' = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}
\]
计算：\((-1)^{3+2} = -1\)，所以该项为\((-1) \times (-1) \times (2\times(-1) - 1\times2) = 1 \times (-2-2) = -4\)。因此\(M_{23} = -4\)。
公式：2阶行列式公式：\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)
提示：注意符号：\((-1)^{3+2} = -1\)，再乘以\(a_{32}=-1\)得正1。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
原行列式 = \(-M_{23} = -(-4) = 4\)。
提示：不要忘记前面还有一个负号。
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