📝 广西民族大学 2007年高等代数真题

1．$\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 & 2\end{array}\right|$ ；

2．$\left|\begin{array}{lllll}1 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 2 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & n\end{array}\right|\left(\begin{array}{ll}n^{3} & 2\end{array}\right)$（注：对角线上元素分别为 $1,2, \mathrm{~L} n$,

其余元素为 3）

三、（15 分）$a$ 取何值时下列方程组有解？并求其解：
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=a \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=a^{2}\end{array}\right.$

九、（20 分）设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值全为实数，且 $A$ 的一阶主子式之和、二阶主子式之和全为 0 ，证明 $\displaystyle A^{n}=O$ 。

二、（15 分）设 $b$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个解，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}$ 是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}, b$ 线性无关；（2）$\displaystyle a_{1}+b, a_{2}+b, \mathrm{~L}, a_{n-r}+b, b$ 线性无关。

五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ 。证明：存在实 $n$ 维向量 $x$ 使得 $\displaystyle x^{\prime} A x<0$ 。

八、（15 分）设 $\displaystyle A=\left|\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right|$ ，求正交矩阵 $Q$ 使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵。

六、（15 分）设有向量组 $\displaystyle a_{1}=(1,0,2,1), a_{2}=(2,0,1,-1), a_{3}=(3,0,3,0), b_{1}=(1,1,0,1), b_{2}=(4,1,3,1)$ ，令 $\displaystyle V_{1}=L\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), V_{2}=L\left(b_{1}, b_{2}\right)$ 。求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 的维数，并求一组基。

四、（20分）证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ，其中 $A$ 是 $\displaystyle n^{\prime} n$ 矩阵（ $\displaystyle n>2$ ）。