广西民族大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）设 $b$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个解，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}$ 是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}, b$ 线性无关；（2）$\displaystyle a_{1}+b, a_{2}+b, \mathrm{~L}, a_{n-r}+b, b$ 线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明向量组 (1) 线性无关
设存在一组数 $k_1, k_2, \dots, k_{n-r}, l$ 使得 $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_{n-r} a_{n-r} + l b = 0$。
提示：注意假设的线性组合包含所有向量。
步骤 2/7
目标：左乘矩阵 A 消去齐次部分
左乘矩阵 $A$，利用 $A a_i = 0$（$i=1,\dots,n-r$）和 $A b = b$，得到 $l A b = l b = 0$。
公式：A a_i = 0, A b = b
提示：注意 $A b = b$ 是因为 $b$ 是非齐次方程的解，右端项也是 $b$，这里符号相同易混淆。
步骤 3/7
目标：推出系数 l=0
由于 $b \neq 0$（否则方程组为齐次），由 $l b = 0$ 得 $l = 0$。
提示：若 $b=0$，则原方程组为齐次，但题目中 $b$ 是非齐次方程的解，通常 $b \neq 0$。
步骤 4/7
目标：利用基础解系线性无关推出其余系数为零
代入 $l=0$ 得 $k_1 a_1 + \cdots + k_{n-r} a_{n-r} = 0$，由于 $a_1,\dots,a_{n-r}$ 是基础解系，线性无关，故 $k_1 = \cdots = k_{n-r} = 0$。因此向量组 $a_1,\dots,a_{n-r},b$ 线性无关。
提示：基础解系线性无关是已知条件。
步骤 5/7
目标：证明向量组 (2) 线性无关
设存在一组数 $\lambda_1,\dots,\lambda_{n-r}, \mu$ 使得 $\lambda_1 (a_1+b) + \cdots + \lambda_{n-r} (a_{n-r}+b) + \mu b = 0$。
提示：注意向量组 (2) 包含 $b$ 本身。
步骤 6/7
目标：整理线性组合
展开并合并同类项得 $\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_{n-r} a_{n-r} + (\lambda_1+\cdots+\lambda_{n-r}+\mu) b = 0$。
提示：合并 $b$ 的系数时不要遗漏 $\mu$。
步骤 7/7
目标：利用 (1) 的结论推出所有系数为零
由 (1) 知 $a_1,\dots,a_{n-r},b$ 线性无关，所以 $\lambda_1 = \cdots = \lambda_{n-r} = 0$，且 $\lambda_1+\cdots+\lambda_{n-r}+\mu = 0$，从而 $\mu = 0$。因此向量组 $a_1+b,\dots,a_{n-r}+b,b$ 线性无关。
提示：线性无关的定义要求所有系数为零，这里由 (1) 直接得到。
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