广西民族大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
八、（15 分）设 $\displaystyle A=\left|\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right|$ ，求正交矩阵 $Q$ 使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出矩阵并判断可对角化条件
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 是实对称矩阵，因此必可正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ$ 为对角矩阵。
提示：实对称矩阵的特征值均为实数，且不同特征值对应的特征向量正交。
步骤 2/7
目标：求特征值
计算特征多项式：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda^2 - 1) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$$
解得特征值：$\lambda_1 = 1$（二重），$\lambda_2 = -1$（单重）。
公式：$\det(\lambda I - A)=0$
提示：计算行列式时注意展开方式，避免符号错误。
步骤 3/7
目标：求特征向量（对应特征值1）
解 $(I - A)\mathbf{x}=0$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
得 $x_1 = x_3$，$x_2$ 自由。基础解系：$\alpha_1 = (1,0,1)^T$，$\alpha_2 = (0,1,0)^T$。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$
提示：注意自由变量的选取，确保两个向量线性无关。
步骤 4/7
目标：求特征向量（对应特征值-1）
解 $(-I - A)\mathbf{x}=0$：
$$\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$
得 $x_1 = -x_3$，$x_2 = 0$。基础解系：$\alpha_3 = (1,0,-1)^T$。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$
提示：注意系数矩阵的化简，避免解错方程。
步骤 5/7
目标：正交化与单位化（特征值1的特征向量）
使用施密特正交化方法将 $\alpha_1, \alpha_2$ 正交化：
- $\beta_1 = \alpha_1 = (1,0,1)^T$
- $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\langle \alpha_2, \beta_1 \rangle}{\langle \beta_1, \beta_1 \rangle} \beta_1 = (0,1,0)^T - 0 = (0,1,0)^T$
单位化：
- $\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T$
- $\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = (0,1,0)^T$
公式：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \alpha_k, \beta_i \rangle}{\langle \beta_i, \beta_i \rangle} \beta_i$
提示：由于 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 已经正交，正交化步骤可省略，但需注意检查。
步骤 6/7
目标：单位化特征向量（特征值-1）
对 $\alpha_3 = (1,0,-1)^T$ 单位化：
$$\gamma_3 = \frac{\alpha_3}{\|\alpha_3\|} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T$$
公式：$\gamma = \frac{\alpha}{\|\alpha\|}$
提示：注意模长计算：$\|\alpha_3\| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$。
步骤 7/7
目标：构造正交矩阵Q并验证
将单位正交特征向量按列排列得正交矩阵 $Q$：
$$Q = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$
则 $Q^{-1}AQ = Q^T A Q = \operatorname{diag}(1,1,-1)$。
公式：$Q^{-1}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$
提示：注意特征向量的排列顺序应与对角矩阵中特征值的顺序一致。
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