广西民族大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）$a$ 取何值时下列方程组有解？并求其解：
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=a \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=a^{2}\end{array}\right.$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出方程组并计算系数矩阵行列式
方程组为
\[
\begin{cases}
a x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
x_1 + a x_2 + x_3 = a \\
x_1 + x_2 + a x_3 = a^2
\end{cases}
\]
系数矩阵
\[
A = \begin{pmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a
\end{pmatrix}
\]
计算行列式：
\[
\det(A) = \begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a
\end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2
\]
公式：\det(A) = (a+2)(a-1)^2
提示：行列式计算时注意行变换或公式，避免符号错误。
步骤 2/6
目标：讨论行列式非零时的情况（唯一解）
当 \(\det(A) \neq 0\)，即 \(a \neq 1\) 且 \(a \neq -2\) 时，方程组有唯一解。将三个方程相加得
\[
(a+2)(x_1+x_2+x_3) = 1+a+a^2
\]
所以
\[
x_1+x_2+x_3 = \frac{1+a+a^2}{a+2}
\]
提示：注意分母 \(a+2\) 不为零。
步骤 3/6
目标：利用加减消元法求唯一解
从第一个方程减去和式：
\[
(a-1)x_1 = 1 - \frac{1+a+a^2}{a+2} = \frac{1-a^2}{a+2}
\]
由于 \(a \neq 1\)，得
\[
x_1 = \frac{1-a^2}{(a-1)(a+2)} = -\frac{1+a}{a+2}
\]
类似地，
\[
(a-1)x_2 = a - \frac{1+a+a^2}{a+2} = \frac{a-1}{a+2} \Rightarrow x_2 = \frac{1}{a+2}
\]
\[
(a-1)x_3 = a^2 - \frac{1+a+a^2}{a+2} = \frac{(a-1)(a+1)^2}{a+2} \Rightarrow x_3 = \frac{(a+1)^2}{a+2}
\]
公式：x_1 = -\frac{1+a}{a+2}, x_2 = \frac{1}{a+2}, x_3 = \frac{(a+1)^2}{a+2}
提示：注意 \(1-a^2 = (1-a)(1+a)\) 且 \(1-a = -(a-1)\)，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：讨论 a=1 的情况（无穷多解）
当 \(a=1\) 时，方程组变为
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 1
\end{cases}
\]
三个方程相同，等价于一个方程 \(x_1+x_2+x_3=1\)。解为
\[
x_1 = 1 - s - t,\quad x_2 = s,\quad x_3 = t,\quad s,t \in \mathbb{R}
\]
提示：注意自由参数的个数为2，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：讨论 a=-2 的情况（无解）
当 \(a=-2\) 时，方程组为
\[
\begin{cases}
-2x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
x_1 -2x_2 + x_3 = -2 \\
x_1 + x_2 -2x_3 = 4
\end{cases}
\]
将三个方程相加得 \(0 = 3\)，矛盾，故无解。
提示：检查是否出现矛盾方程，如 \(0 = \text{非零常数}\)。
步骤 6/6
目标：总结所有情况
综上所述：
- 当 \(a \neq 1\) 且 \(a \neq -2\) 时，方程组有唯一解：
\[
x_1 = -\frac{1+a}{a+2},\quad x_2 = \frac{1}{a+2},\quad x_3 = \frac{(a+1)^2}{a+2}
\]
- 当 \(a = 1\) 时，方程组有无穷多解：
\[
x_1 = 1 - s - t,\quad x_2 = s,\quad x_3 = t,\quad s,t \in \mathbb{R}
\]
- 当 \(a = -2\) 时，方程组无解。
提示：注意分类讨论的完整性，不要遗漏 \(a=-2\) 的情况。
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