广西民族大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
六、（15 分）设有向量组 $\displaystyle a_{1}=(1,0,2,1), a_{2}=(2,0,1,-1), a_{3}=(3,0,3,0), b_{1}=(1,1,0,1), b_{2}=(4,1,3,1)$ ，令 $\displaystyle V_{1}=L\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), V_{2}=L\left(b_{1}, b_{2}\right)$ 。求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 的维数，并求一组基。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造矩阵并化为行最简形
将向量组 $a_1=(1,0,2,1)$, $a_2=(2,0,1,-1)$, $a_3=(3,0,3,0)$, $b_1=(1,1,0,1)$, $b_2=(4,1,3,1)$ 作为行向量构造矩阵 $A$，然后进行初等行变换化为行最简形：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：注意行变换过程中保持等价性，避免计算错误。
步骤 2/5
目标：确定维数
行最简形有3个非零行，因此向量组的秩为3，即 $V_1+V_2$ 的维数为3。
公式：维数 = 非零行数
提示：维数等于行最简形中非零行的个数，也等于极大无关组中向量的个数。
步骤 3/5
目标：选取基向量
行最简形中主元列对应原矩阵的行向量（注意行变换中行交换）。主元在第1、2、3列，对应原矩阵的第1、4、2行，即 $a_1$, $b_1$, $a_2$。它们线性无关，可作为 $V_1+V_2$ 的一组基。
提示：基必须取自原向量组，不能直接取行最简形的行向量，因为行变换改变了向量。
步骤 4/5
目标：验证基的正确性
检查 $a_1$, $b_1$, $a_2$ 是否线性无关：设 $k_1 a_1 + k_2 b_1 + k_3 a_2 = 0$，解得 $k_1=k_2=k_3=0$，故线性无关。同时，$a_3$ 和 $b_2$ 可由它们线性表示，例如 $a_3 = a_1 + a_2$，$b_2 = -a_1 + 2b_1 + a_2$。
提示：验证时注意系数计算，确保所有向量都在基的生成空间中。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
$V_1+V_2$ 的维数为3，一组基为 $\{a_1, b_1, a_2\}$，即 $\{(1,0,2,1), (1,1,0,1), (2,0,1,-1)\}$。
提示：答案格式要规范，基用集合表示。
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