广西民族大学 2007年高等代数第0题

设 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n$。由韦达定理，$a_1$ 等于 $A$ 的一阶主子式之和的相反数，$a_2$ 等于二阶主子式之和。已知一阶主子式之和为0，故 $a_1=0$；二阶主子式之和为0，故 $a_2=0$。因此特征多项式为 $f(\lambda)=\lambda^n+a_3\lambda^{n-3}+\cdots+a_n$。

设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$（均为实数）。由韦达定理，$\sum_{i=1}^n \lambda_i = -a_1 = 0$，$\sum_{i

公式：$\sum \lambda_i^2 = (\sum \lambda_i)^2 - 2\sum_{i

提示：注意特征值全为实数的条件保证了平方和为零可推出每个特征值为零。

步骤 3/4

目标：得出特征多项式为 $\lambda^n$

由于所有特征值均为0，特征多项式 $f(\lambda)=\prod_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)=\lambda^n$。

公式：$f(\lambda)=\prod_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)$

提示：特征多项式是首一多项式，根为特征值。

步骤 4/4

目标：应用 Cayley-Hamilton 定理

由 Cayley-Hamilton 定理，矩阵 $A$ 满足其特征多项式，即 $f(A)=A^n=O$。

公式：$f(A)=O$

提示：Cayley-Hamilton 定理：任何方阵满足其特征多项式。