广西民族大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
四、（20分）证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ，其中 $A$ 是 $\displaystyle n^{\prime} n$ 矩阵（ $\displaystyle n>2$ ）。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分情况讨论：行列式非零与为零
由于结论涉及 $|A|^{n-2}$，当 $|A| \neq 0$ 和 $|A| = 0$ 时证明方法不同，故分两种情况讨论。
提示：注意 $n>2$ 的条件在秩为 $n-1$ 时用到。
步骤 2/8
目标：情况1：$|A| \neq 0$ 时，利用可逆矩阵性质
当 $|A| \neq 0$ 时，$A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$，即 $A^* = |A| A^{-1}$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：记住伴随矩阵与逆矩阵的关系。
步骤 3/8
目标：计算 $(A^*)^*$ 并代入
对任意可逆矩阵 $B$，有 $B^* = |B| B^{-1}$。令 $B = A^*$，则 $(A^*)^* = |A^*| (A^*)^{-1}$。
公式：$B^* = |B| B^{-1}$
提示：注意 $A^*$ 可逆当且仅当 $A$ 可逆。
步骤 4/8
目标：代入 $|A^*|$ 和 $(A^*)^{-1}$
已知 $|A^*| = |A|^{n-1}$，且由 $A^* = |A| A^{-1}$ 得 $(A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|} A$。代入得：
$$(A^*)^* = |A|^{n-1} \cdot \frac{1}{|A|} A = |A|^{n-2} A.$$
公式：$|A^*| = |A|^{n-1}$
提示：计算 $(A^*)^{-1}$ 时不要忘记系数。
步骤 5/8
目标：情况2：$|A| = 0$ 时，分秩讨论
当 $|A| = 0$ 时，$A$ 不可逆。考虑 $A$ 的秩 $r(A)$。
提示：秩的讨论是证明的关键。
步骤 6/8
目标：子情况2a：$r(A) \leq n-2$
若 $r(A) \leq n-2$，则 $A$ 的所有 $(n-1)$ 阶子式为零，故 $A^* = 0$，从而 $(A^*)^* = 0$。等式右边 $|A|^{n-2} A = 0$，成立。
提示：伴随矩阵定义：元素为代数余子式，当秩小于 $n-1$ 时所有余子式为0。
步骤 7/8
目标：子情况2b：$r(A) = n-1$
若 $r(A) = n-1$，则 $A^* \neq 0$，且由 $A A^* = |A| I = 0$ 知 $r(A^*) = 1$（因为 $A^*$ 非零且 $A$ 的零空间维数为1）。由于 $n>2$，$r(A^*) = 1 \leq n-2$，故 $A^*$ 的所有 $(n-1)$ 阶子式为零，即 $(A^*)^* = 0$。等式右边 $|A|^{n-2} A = 0$，成立。
公式：$A A^* = |A| I$
提示：利用 $A A^* = |A| I$ 得到秩关系，注意 $n>2$ 保证 $1 \leq n-2$。
步骤 8/8
目标：结论
综合所有情况，对任意 $n$ 阶方阵 $A$（$n>2$），有 $(A^*)^* = |A|^{n-2} A$。
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