广西民族大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ 。证明：存在实 $n$ 维向量 $x$ 使得 $\displaystyle x^{\prime} A x<0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用实对称矩阵的正交对角化
由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，存在正交矩阵 $Q$（即 $Q^T Q = I$）使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值，且均为实数。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：注意正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，因此 $Q^T A Q$ 是相似变换，保持特征值不变。
步骤 2/5
目标：由行列式条件推出存在负特征值
已知 $|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i < 0$。由于特征值都是实数，乘积为负意味着至少有一个特征值为负数。不妨设 $\lambda_1 < 0$。
公式：$|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：注意特征值的乘积等于行列式，且实对称矩阵的特征值都是实数。
步骤 3/5
目标：构造一个向量使得二次型为负
取向量 $y = (1, 0, \dots, 0)^T \in \mathbb{R}^n$，则 $y^T \Lambda y = \lambda_1 < 0$。
公式：$y^T \Lambda y = \lambda_1$
提示：这里 $y$ 是标准基向量，只需在负特征值对应的分量上取1，其余取0。
步骤 4/5
目标：通过正交变换得到原空间的向量
令 $x = Q y$，由于 $Q$ 是正交矩阵，$x$ 是实向量。计算 $x^T A x$：$x^T A x = (Q y)^T A (Q y) = y^T (Q^T A Q) y = y^T \Lambda y = \lambda_1 < 0$。
公式：$x^T A x = y^T \Lambda y$
提示：注意 $x^T = (Q y)^T = y^T Q^T$，且 $Q^T A Q = \Lambda$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在实 $n$ 维向量 $x$ 使得 $x^T A x < 0$。命题得证。
提示：注意 $x$ 是非零向量（因为 $y$ 非零且 $Q$ 可逆）。
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