广西民族大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
一、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 2 b & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为何值时，$\displaystyle A x=\beta$ 有解，（20 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵并交换行
写出增广矩阵 $(A \mid \beta) = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 4 \\ 1 & b & 1 & 3 \\ 1 & 2b & 1 & 4 \end{array}\right)$。为简化计算，交换第1行与第2行，得到 $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & b & 1 & 3 \\ a & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2b & 1 & 4 \end{array}\right)$。
提示：交换行时注意对应关系，不要抄错数字。
步骤 2/6
目标：消元得到阶梯形
第2行减去第1行的 $a$ 倍，第3行减去第1行：$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & 1-ab & 1-a & 4-3a \\ 0 & b & 0 & 1 \end{array}\right)$。然后交换第2行与第3行：$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & b & 0 & 1 \\ 0 & 1-ab & 1-a & 4-3a \end{array}\right)$。
提示：消元时注意系数符号，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：讨论b≠0的情况并继续消元
当 $b \neq 0$ 时，第3行减去第2行的 $\frac{1-ab}{b}$ 倍：$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & b & 1 & 3 \\ 0 & b & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1-a & \frac{4b - 2ab -1}{b} \end{array}\right)$。化简第三行最后一个元素：$4-3a - \frac{1-ab}{b} = \frac{4b-3ab -1 + ab}{b} = \frac{4b - 2ab -1}{b}$。
提示：分式运算要仔细，通分时注意分子各项符号。
步骤 4/6
目标：分析b≠0时解的情况
方程组有解当且仅当第三行不出现矛盾。若 $1-a \neq 0$，即 $a \neq 1$，则第三行可解出 $x_3$，方程组有唯一解。若 $1-a = 0$，即 $a=1$，则需 $\frac{4b - 2ab -1}{b} = 0$，代入 $a=1$ 得 $\frac{2b-1}{b}=0$，解得 $b=\frac{1}{2}$，此时有无穷多解。
提示：注意区分唯一解与无穷多解的条件：当系数矩阵满秩时有唯一解，否则需检查增广矩阵秩是否相等。
步骤 5/6
目标：讨论b=0的情况
当 $b=0$ 时，原矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)$。第3行减第2行得 $\left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$，第三行对应 $0=1$，矛盾，故无解。
提示：b=0时直接代入原矩阵，避免使用之前含b的变换。
步骤 6/6
目标：总结解的存在条件
综合两种情况：当 $b \neq 0$ 且 $a \neq 1$ 时，方程组有唯一解；当 $a=1, b=\frac{1}{2}$ 时，方程组有无穷多解；其他情况（$b=0$ 或 $a=1, b \neq \frac{1}{2}$）无解。
提示：注意不要遗漏b=0的情况，且a=1时b必须为1/2才有解。
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