📝 广西民族大学 2009年高等代数真题

一、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 2 b & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为何值时，$\displaystyle A x=\beta$ 有解，（20 分）

七、设 $\displaystyle A \in C^{n \times n}, ~ C \in C^{n \times n}, A$ 为正定矩阵，矩阵 $C$ 的秩为 $\displaystyle m, n>m$ ，求 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & 0\end{array}\right)$ 的正、负惯性指数，其中 $\displaystyle C^{T}$ 为矩阵 $C$ 的转置（15 分）

三、 元素属于实数域 R 的 2 阶方阵按矩阵的加法与数量乘法构成 R 上的一个线性空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ ，令 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ ，定义变换 $\displaystyle \delta(A)=A H-H A, A \in M_{2}(R)$ 为其上的线性变换，求 $\displaystyle \delta$ 的核的维数和一组基。（20分）

二、 试化二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 \sqrt{2} x_{1} x_{3}$ 为标准型，并求出变到标准型的正交变换 （20分）

五、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}b & c & a \\ c & a & b \\ a & b & c\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right)$ ，证明：
（1）$\displaystyle A, B, C$ 彼此相似；
（2）若 $\displaystyle B C=C B$ ，则 $A$ 至少有两个特征根为 0 。（25 分）

八、设 $\displaystyle A=\left(a_{i, j}\right)_{n \times n}$ ，满足 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i, j}=0, \forall i=1,2, \cdots, n$ ，证明 $\displaystyle A_{n 1}=A_{n 2}=\cdots=A_{n n}, A_{n j}$ 为 $\displaystyle a_{n j}$ 的代数余子式。（20分）

六、证明 $\displaystyle x^{2}+x+1$ 整除 $\displaystyle x^{3 m}+x^{3 n+1}+x^{3 p+2}$ ，其中 $\displaystyle m, n, p$ 均为正整数（ 15 分）

四、设实矩阵 $\displaystyle A \in C^{m \times n}$ ，证明秩 $\displaystyle \left(A^{\prime} A\right)=$ 秩 $\displaystyle (A), A^{\prime}$ 为矩阵 $A$ 的转置。（15 分）