广西民族大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
六、证明 $\displaystyle x^{2}+x+1$ 整除 $\displaystyle x^{3 m}+x^{3 n+1}+x^{3 p+2}$ ，其中 $\displaystyle m, n, p$ 均为正整数（ 15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入单位根
设 $f(x)=x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$。要证明 $x^2+x+1$ 整除 $f(x)$，只需证明 $f(\omega)=0$，其中 $\omega$ 是 $x^2+x+1=0$ 的根。因为 $x^2+x+1$ 是二次多项式，且无重根，若其两个根都是 $f(x)$ 的根，则整除成立。
提示：注意：$x^2+x+1$ 的根是复数单位根 $\omega$ 和 $\omega^2$，且 $\omega^3=1$，$\omega \neq 1$。
步骤 2/6
目标：确定单位根的性质
由 $\omega^2+\omega+1=0$ 可得 $\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0$，所以 $\omega^3=1$，且 $\omega \neq 1$。类似地，$\omega^2$ 也满足 $\omega^2+\omega+1=0$ 和 $(\omega^2)^3=1$。
公式：$\omega^3=1$，$\omega^2+\omega+1=0$
提示：注意 $\omega$ 是三次单位根，但 $\omega \neq 1$。
步骤 3/6
目标：计算 $f(\omega)$
计算 $f(\omega)=\omega^{3m}+\omega^{3n+1}+\omega^{3p+2}$。利用 $\omega^3=1$，有 $\omega^{3m}=(\omega^3)^m=1^m=1$，$\omega^{3n+1}=\omega^{3n}\cdot\omega=1\cdot\omega=\omega$，$\omega^{3p+2}=\omega^{3p}\cdot\omega^2=1\cdot\omega^2=\omega^2$。所以 $f(\omega)=1+\omega+\omega^2$。
公式：$\omega^{3k}=1$ 对任意整数 $k$
提示：注意指数运算：$\omega^{3n+1}=\omega^{3n}\cdot\omega$，不要漏掉指数。
步骤 4/6
目标：利用根的性质得到零
由 $\omega^2+\omega+1=0$ 直接得 $1+\omega+\omega^2=0$，因此 $f(\omega)=0$。
公式：$\omega^2+\omega+1=0$
提示：这一步直接代入即可，注意不要计算错误。
步骤 5/6
目标：验证另一个根
类似地，计算 $f(\omega^2)$：$f(\omega^2)=(\omega^2)^{3m}+(\omega^2)^{3n+1}+(\omega^2)^{3p+2}=\omega^{6m}+\omega^{6n+2}+\omega^{6p+4}$。由于 $\omega^3=1$，$\omega^{6m}=(\omega^3)^{2m}=1$，$\omega^{6n+2}=\omega^{6n}\cdot\omega^2=1\cdot\omega^2=\omega^2$，$\omega^{6p+4}=\omega^{6p}\cdot\omega^4=1\cdot\omega^4=\omega\cdot\omega^3=\omega$。所以 $f(\omega^2)=1+\omega^2+\omega=0$。
公式：$\omega^{6k}=1$，$\omega^4=\omega$
提示：注意 $\omega^4=\omega^3\cdot\omega=\omega$，因为 $\omega^3=1$。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $x^2+x+1$ 的两个根 $\omega$ 和 $\omega^2$ 都是 $f(x)$ 的根，且 $x^2+x+1$ 是二次多项式，因此 $x^2+x+1$ 整除 $f(x)$。
提示：整除的判定：多项式 $g(x)$ 整除 $f(x)$ 当且仅当 $g(x)$ 的每个根（计重数）都是 $f(x)$ 的根。
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