广西民族大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
四、设实矩阵 $\displaystyle A \in C^{m \times n}$ ，证明秩 $\displaystyle \left(A^{\prime} A\right)=$ 秩 $\displaystyle (A), A^{\prime}$ 为矩阵 $A$ 的转置。（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 rank(A'A) ≤ rank(A)
由矩阵乘积的秩不等式，对于任意矩阵 $B$ 和 $C$，有 $\operatorname{rank}(BC) \leq \min\{\operatorname{rank}(B), \operatorname{rank}(C)\}$。令 $B = A'$，$C = A$，则 $\operatorname{rank}(A'A) \leq \min\{\operatorname{rank}(A'), \operatorname{rank}(A)\} = \operatorname{rank}(A)$，因为 $\operatorname{rank}(A') = \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\operatorname{rank}(BC) \leq \min\{\operatorname{rank}(B), \operatorname{rank}(C)\}$
提示：注意矩阵乘积的秩不等式方向，不要混淆大小关系。
步骤 2/4
目标：证明 rank(A'A) ≥ rank(A) 的思路
考虑齐次线性方程组 $Ax = 0$ 和 $A'Ax = 0$。若 $Ax = 0$，则 $A'Ax = A'0 = 0$，所以 $Ax = 0$ 的解都是 $A'Ax = 0$ 的解。反之，若 $A'Ax = 0$，则 $x'A'Ax = 0$，即 $(Ax)'(Ax) = \|Ax\|^2 = 0$，故 $Ax = 0$。因此两个方程组同解。
公式：$(Ax)'(Ax) = \|Ax\|^2$
提示：关键步骤：利用实向量的模长平方为零推出向量为零。
步骤 3/4
目标：由同解推出秩相等
由于 $Ax = 0$ 和 $A'Ax = 0$ 的解空间相同，它们的维数相等。解空间的维数等于 $n - \operatorname{rank}(A)$ 和 $n - \operatorname{rank}(A'A)$，因此 $n - \operatorname{rank}(A) = n - \operatorname{rank}(A'A)$，从而 $\operatorname{rank}(A'A) = \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\dim(\ker(A)) = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：注意解空间维数与秩的关系，不要混淆。
步骤 4/4
目标：综合结论
由步骤1得 $\operatorname{rank}(A'A) \leq \operatorname{rank}(A)$，由步骤2和3得 $\operatorname{rank}(A'A) \geq \operatorname{rank}(A)$，因此 $\operatorname{rank}(A'A) = \operatorname{rank}(A)$。
提示：综合不等式时注意方向。
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