广西民族大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
五、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}b & c & a \\ c & a & b \\ a & b & c\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right)$ ，证明：
（1）$\displaystyle A, B, C$ 彼此相似；
（2）若 $\displaystyle B C=C B$ ，则 $A$ 至少有两个特征根为 0 。（25 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入置换矩阵并证明A与B相似
令置换矩阵 $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $P$ 是正交矩阵且 $P^3 = I$。计算 $P^T A P$：先计算 $P^T A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & c & a \\ c & a & b \\ a & b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}$，再右乘 $P$ 得 $\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a \end{pmatrix} = B$。因此 $P^T A P = B$，即 $A$ 与 $B$ 相似。
公式：$P^T A P = B$
提示：注意矩阵乘法的顺序，先左乘 $P^T$ 再右乘 $P$。
步骤 2/6
目标：证明B与C相似
类似地，计算 $P^T B P$：先计算 $P^T B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & c & a \\ c & a & b \\ a & b & c \end{pmatrix} = A$，再右乘 $P$ 得 $A P = \begin{pmatrix} b & c & a \\ c & a & b \\ a & b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix} = C$。因此 $P^T B P = C$，即 $B$ 与 $C$ 相似。由传递性，$A$ 与 $C$ 也相似。
公式：$P^T B P = C$
提示：注意 $P^T B$ 的结果恰好是 $A$，这一步需要细心计算。
步骤 3/6
目标：计算BC和CB并利用条件BC=CB
计算 $BC$ 和 $CB$：
$BC = \begin{pmatrix} c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ca+ab+bc & cb+ac+ba & c^2+a^2+b^2 \\ a^2+b^2+c^2 & ab+bc+ca & ac+ba+cb \\ ba+cb+ac & b^2+c^2+a^2 & bc+ca+ab \end{pmatrix}$，
$CB = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+ba+cb & a^2+b^2+c^2 & ab+bc+ca \\ bc+cb+ac & b^2+c^2+a^2 & ba+ac+cb \\ c^2+a^2+b^2 & ca+ab+bc & cb+ac+ba \end{pmatrix}$。
由 $BC = CB$，比较对应元素（例如第1行第3列）得 $c^2+a^2+b^2 = ab+bc+ca$，即 $a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = 0$。
公式：$a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = 0$
提示：比较元素时选择非对称位置，如(1,3)或(2,1)，避免混淆。
步骤 4/6
目标：化简条件得到a=b=c
将 $a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = 0$ 两边乘以2得 $2a^2+2b^2+2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$，即 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$。由于平方非负，故 $a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$，所以 $a=b=c$。设 $a=b=c=k$。
公式：$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
提示：注意配方技巧，不要遗漏系数2。
步骤 5/6
目标：计算A的特征多项式
当 $a=b=c=k$ 时，$A = \begin{pmatrix} k & k & k \\ k & k & k \\ k & k & k \end{pmatrix}$。特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda - k & -k & -k \\ -k & \lambda - k & -k \\ -k & -k & \lambda - k \end{pmatrix}$。计算行列式：令 $t = \lambda - k$，则行列式为 $\begin{vmatrix} t & -k & -k \\ -k & t & -k \\ -k & -k & t \end{vmatrix} = t^3 - 3k^2 t - 2k^3 = (t-2k)(t+k)^2$。因此特征值为 $\lambda = 3k$（单根）和 $\lambda = 0$（二重根）。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda - 3k)\lambda^2$
提示：计算三阶行列式时，注意使用行和相等的技巧：将第2、3行加到第1行，再提取公因子。
步骤 6/6
目标：得出结论
由特征多项式可知，$A$ 的特征根为 $\lambda_1 = 3k$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 0$。因此 $A$ 至少有两个特征根为 0（当 $k=0$ 时三个特征根均为 0）。
提示：注意“至少有两个”包括 $k=0$ 时三个都是0的情况。
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