广西民族大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
三、 元素属于实数域 R 的 2 阶方阵按矩阵的加法与数量乘法构成 R 上的一个线性空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ ，令 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ ，定义变换 $\displaystyle \delta(A)=A H-H A, A \in M_{2}(R)$ 为其上的线性变换，求 $\displaystyle \delta$ 的核的维数和一组基。（20分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出线性变换的表达式
设 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$，计算 $\delta(A) = AH - HA$，其中 $H = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：$\delta(A) = AH - HA$
提示：注意矩阵乘法的顺序，先左乘H再右乘H，不要混淆。
步骤 2/6
目标：计算AH和HA
计算 $AH = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 1 + b \cdot 0 & a \cdot 2 + b \cdot 3 \\ c \cdot 1 + d \cdot 0 & c \cdot 2 + d \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2a+3b \\ c & 2c+3d \end{pmatrix}$。
计算 $HA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot a + 2 \cdot c & 1 \cdot b + 2 \cdot d \\ 0 \cdot a + 3 \cdot c & 0 \cdot b + 3 \cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ 3c & 3d \end{pmatrix}$。
提示：矩阵乘法时注意行乘列，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：计算δ(A)的表达式
计算 $\delta(A) = AH - HA = \begin{pmatrix} a & 2a+3b \\ c & 2c+3d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ 3c & 3d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - (a+2c) & (2a+3b) - (b+2d) \\ c - 3c & (2c+3d) - 3d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2c & 2a+2b-2d \\ -2c & 2c \end{pmatrix}$。
提示：减法时注意对应元素相减，不要遗漏负号。
步骤 4/6
目标：建立核的条件方程组
核 $\ker\delta = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \delta(A)=0 \}$。令 $\delta(A)=0$，即 $\begin{pmatrix} -2c & 2a+2b-2d \\ -2c & 2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，得到方程组：
\[
\begin{cases}
-2c = 0, \\
2a+2b-2d = 0, \\
-2c = 0, \\
2c = 0.
\end{cases}
\]
提示：矩阵相等要求每个元素对应相等，注意所有方程都要列出。
步骤 5/6
目标：解方程组得到核中矩阵的形式
由 $-2c=0$ 和 $2c=0$ 得 $c=0$。代入 $2a+2b-2d=0$ 得 $a+b-d=0$，即 $d=a+b$。因此 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a+b \end{pmatrix}$，其中 $a,b \in \mathbb{R}$。
提示：注意解方程时不要遗漏自由变量，a和b是自由参数。
步骤 6/6
目标：确定核的维数和一组基
核中矩阵可表示为 $A = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，因此 $\ker\delta$ 的一组基为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，维数为2。
提示：基向量必须线性无关，且能张成整个核空间。注意检查两个矩阵是否线性无关。
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