广西民族大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
七、设 $\displaystyle A \in C^{n \times n}, ~ C \in C^{n \times n}, A$ 为正定矩阵，矩阵 $C$ 的秩为 $\displaystyle m, n>m$ ，求 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & 0\end{array}\right)$ 的正、负惯性指数，其中 $\displaystyle C^{T}$ 为矩阵 $C$ 的转置（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵结构
已知 $A \in C^{n \times n}$ 正定，$C \in C^{n \times m}$ 秩为 $m$，且 $n > m$。矩阵 $B = \begin{pmatrix} A & C \\ C^T & 0 \end{pmatrix}$ 是 $(n+m) \times (n+m)$ 的对称矩阵。我们需要求 $B$ 的正惯性指数和负惯性指数，即 $B$ 的正特征值个数和负特征值个数（合同变换下不变）。
提示：注意 $B$ 是实对称矩阵，惯性指数在合同变换下不变。
步骤 2/5
目标：利用A正定进行合同变换
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = I_n$。作合同变换：
$$
\begin{pmatrix} P^T & 0 \\ 0 & I_m \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & I_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_n & P^T C \\ C^T P & 0 \end{pmatrix}.
$$
记 $D = P^T C$，则 $D$ 是 $n \times m$ 矩阵，且秩仍为 $m$（因为 $P$ 可逆）。问题转化为求 $\begin{pmatrix} I_n & D \\ D^T & 0 \end{pmatrix}$ 的惯性指数。
公式：$P^T A P = I_n$
提示：确保 $P$ 是可逆的，且变换是合同变换，不改变惯性指数。
步骤 3/5
目标：构造进一步的合同变换
由于 $D$ 列满秩，存在 $n \times m$ 矩阵 $Q$ 使得 $Q^T D = I_m$。例如取 $Q = D(D^T D)^{-1}$。考虑矩阵 $R = \begin{pmatrix} I_n & -D \\ 0 & I_m \end{pmatrix}$，则 $R$ 可逆。计算合同变换：
$$
R^T \begin{pmatrix} I_n & D \\ D^T & 0 \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -D^T D \end{pmatrix}.
$$
这里 $D^T D$ 是 $m \times m$ 正定矩阵（因为 $D$ 列满秩），所以 $-D^T D$ 是负定矩阵。
公式：$R^T \begin{pmatrix} I_n & D \\ D^T & 0 \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -D^T D \end{pmatrix}$
提示：注意 $R$ 的构造：左上角 $I_n$，右上角 $-D$，左下角 $0$，右下角 $I_m$。
步骤 4/5
目标：确定惯性指数
合同变换后的矩阵为 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -D^T D \end{pmatrix}$。由于 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵，有 $n$ 个正特征值；$-D^T D$ 是 $m$ 阶负定矩阵，有 $m$ 个负特征值。因此，该矩阵的正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $m$。由于合同变换不改变惯性指数，原矩阵 $B$ 的正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $m$。
提示：注意 $D^T D$ 正定，所以 $-D^T D$ 负定，特征值全负。
步骤 5/5
目标：总结答案
因此，矩阵 $B = \begin{pmatrix} A & C \\ C^T & 0 \end{pmatrix}$ 的正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $m$。
提示：答案依赖于 $A$ 正定和 $C$ 列满秩的条件。
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