广西民族大学 2010年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）计算下列行列式：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}-m & x_{2} & \cdots & x_{n} \\
x_{1} & x_{2}-m & \cdots & x_{n} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}-m
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：列变换：将所有列加到第一列
将第 $2,3,\dots,n$ 列都加到第 $1$ 列，得到新行列式：
$$D_n = \left|\begin{array}{cccc}\sum_{i=1}^n x_i - m & x_2 & \cdots & x_n \\\sum_{i=1}^n x_i - m & x_2 - m & \cdots & x_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\sum_{i=1}^n x_i - m & x_2 & \cdots & x_n - m\end{array}\right|.$$
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意所有列都加到第一列，第一列每个元素都变成 $\sum_{i=1}^n x_i - m$。
步骤 2/5
目标：提取公因子
第一列有公因子 $\sum_{i=1}^n x_i - m$，提取出来：
$$D_n = \left(\sum_{i=1}^n x_i - m\right) \left|\begin{array}{cccc}1 & x_2 & \cdots & x_n \\1 & x_2 - m & \cdots & x_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_2 & \cdots & x_n - m\end{array}\right|.$$
公式：行列式性质：某行（列）所有元素有公因子，可提取到行列式外。
提示：提取公因子时，注意第一列每个元素都含有该因子，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：行变换：将第一行的-1倍加到其他行
将第 $1$ 行的 $-1$ 倍分别加到第 $2,3,\dots,n$ 行，得到：
$$D_n = \left(\sum_{i=1}^n x_i - m\right) \left|\begin{array}{cccc}1 & x_2 & \cdots & x_n \\0 & -m & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & -m\end{array}\right|.$$
公式：行列式性质：将一行的倍数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意第二行第二列元素变为 $x_2 - m - x_2 = -m$，类似地，其他非对角元变为0。
步骤 4/5
目标：计算上三角行列式
得到上三角行列式，对角线元素为 $1, -m, \dots, -m$（共 $n-1$ 个 $-m$），所以行列式值为对角线元素乘积：
$$D_n = \left(\sum_{i=1}^n x_i - m\right) \cdot 1 \cdot (-m)^{n-1} = (-m)^{n-1} \left(\sum_{i=1}^n x_i - m\right).$$
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。
提示：注意 $(-m)^{n-1}$ 的指数是 $n-1$，因为只有 $n-1$ 个 $-m$。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
因此，原行列式的值为：
$$\boxed{(-m)^{n-1} \left(\sum_{i=1}^n x_i - m\right)}.$$
提示：结果可以写成 $(-m)^{n-1}(S - m)$，其中 $S = \sum_{i=1}^n x_i$。
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