广西民族大学 2010年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）已知
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$
求一正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{T}$ 使 $\displaystyle \mathbf{T}^{\prime} \mathbf{A T}$ 成对角形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征值
由特征方程 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$ 得：
$$\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & -1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ -1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix} = 0$$
计算行列式：
$$-\lambda(\lambda^2 - 1) - 1(-\lambda + 1) + (-1)(1 - \lambda) = -\lambda^3 + 3\lambda - 2 = 0$$
即 $\lambda^3 - 3\lambda + 2 = 0$，因式分解得 $(\lambda - 1)^2(\lambda + 2) = 0$，所以特征值为 $\lambda_1 = 1$（二重）和 $\lambda_2 = -2$。
公式：$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$
提示：计算三阶行列式时注意符号，避免代数错误。
步骤 2/6
目标：求特征向量（λ=1）
对于 $\lambda = 1$，解 $(\mathbf{A} - \mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$：
$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
行化简得秩为1，基础解系有两个向量。取 $x_2 = 1, x_3 = 0$ 得 $x_1 = 1$，得 $\mathbf{v}_1 = (1,1,0)^T$；取 $x_2 = 0, x_3 = 1$ 得 $x_1 = -1$，得 $\mathbf{v}_2 = (-1,0,1)^T$。
公式：$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：注意自由变量的选取，确保得到线性无关的特征向量。
步骤 3/6
目标：求特征向量（λ=-2）
对于 $\lambda = -2$，解 $(\mathbf{A} + 2\mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$：
$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
行化简得 $x_2 = -x_3$，$x_1 = x_3$，取 $x_3 = 1$ 得 $\mathbf{v}_3 = (1,-1,1)^T$。
公式：$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：行化简时注意系数，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：正交化（λ=1的特征向量）
由于 $\mathbf{A}$ 是对称矩阵，不同特征值的特征向量自动正交，只需将 $\lambda=1$ 的两个特征向量正交化。使用施密特正交化：
取 $\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1,1,0)^T$，
$$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1} \mathbf{u}_1 = (-1,0,1) - \frac{-1}{2}(1,1,0) = (-0.5, -0.5, 1)$$
公式：$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1} \mathbf{u}_1$
提示：注意内积计算，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：单位化
将正交化后的向量单位化：
$$\mathbf{q}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$$
$$\mathbf{q}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{1.5}}(-0.5, -0.5, 1) = \frac{1}{\sqrt{6}}(-1, -1, 2)^T$$
对于 $\lambda=-2$，$\mathbf{v}_3 = (1,-1,1)^T$，单位化：
$$\mathbf{q}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T$$
公式：$\mathbf{q} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}$
提示：单位化时注意模长计算，分母有理化。
步骤 6/6
目标：构造正交矩阵T
正交矩阵 $\mathbf{T} = (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3)$，即
$$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$
使得 $\mathbf{T}^T \mathbf{A} \mathbf{T} = \operatorname{diag}(1,1,-2)$。
公式：$\mathbf{T}^T \mathbf{A} \mathbf{T} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$
提示：注意特征向量顺序与特征值对应，确保T是正交矩阵（列向量单位正交）。
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