广西民族大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
一、判断题目：（20分）
（2）若向量组的一个线性组合为零，则该向量组线性相关；
（3）$\displaystyle V_{1}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}=0\right\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的子空间；
（4）矩阵相似具有相同特征多项式；
（5）合同矩阵具有相同的负惯性指数
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断（2）向量组线性组合为零与线性相关的关系
线性相关的定义：存在一组不全为零的系数使得线性组合为零。题目中只说“一个线性组合为零”，但未说明系数是否全为零。如果系数全为零，则线性组合为零是平凡的，不能推出线性相关。例如，向量组 $\alpha_1 = (1,0), \alpha_2 = (0,1)$，存在线性组合 $0\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2 = 0$，但该向量组线性无关。因此原命题错误。
提示：注意线性相关定义中系数不全为零的条件，不能忽略系数全为零的平凡情况。
步骤 2/4
目标：判断（3）集合 $V_1$ 是否为 $\mathbb{R}^3$ 的子空间
验证子空间的三条性质：
1. **零向量**：$(0,0,0)$ 满足 $0+0=0$，故 $0 \in V_1$。
2. **加法封闭**：任取 $x=(x_1,x_2,x_3), y=(y_1,y_2,y_3) \in V_1$，则 $x_1+x_2=0$，$y_1+y_2=0$。那么 $x+y = (x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)$，满足 $(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0$，故 $x+y \in V_1$。
3. **数乘封闭**：任取 $k \in \mathbb{R}$，$x \in V_1$，则 $kx = (kx_1, kx_2, kx_3)$，满足 $kx_1 + kx_2 = k(x_1+x_2)=0$，故 $kx \in V_1$。
因此 $V_1$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间。
提示：验证子空间时，必须检查零向量、加法封闭和数乘封闭三条性质，缺一不可。
步骤 3/4
目标：判断（4）矩阵相似是否具有相同特征多项式
若 $A \sim B$，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。特征多项式为 $\det(\lambda I - B) = \det(\lambda I - P^{-1}AP) = \det(P^{-1}(\lambda I - A)P) = \det(P^{-1})\det(\lambda I - A)\det(P) = \det(\lambda I - A)$。因此相似矩阵有相同的特征多项式。
公式：$\det(\lambda I - P^{-1}AP) = \det(\lambda I - A)$
提示：注意特征多项式相同是相似的必要条件而非充分条件。
步骤 4/4
目标：判断（5）合同矩阵是否具有相同的负惯性指数
合同变换保持实对称矩阵的正定性、负定性等惯性指数。具体地，若 $A$ 与 $B$ 合同，则存在可逆矩阵 $C$ 使得 $B = C^T A C$。由惯性定理，$A$ 和 $B$ 有相同的正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数。因此负惯性指数相同。
提示：合同矩阵的惯性指数相同，包括正、负和零惯性指数，但注意仅对实对称矩阵讨论合同。
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