📝 广西民族大学 2011年高等代数真题

一、判断题目：（20分）
（2）若向量组的一个线性组合为零，则该向量组线性相关；
（3）$\displaystyle V_{1}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}=0\right\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的子空间；
（4）矩阵相似具有相同特征多项式；
（5）合同矩阵具有相同的负惯性指数

七、设 $\displaystyle A, B, C$ 分别为 $n$ 阶矩阵，若 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ B^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为正定矩阵，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B^{\prime} & C\end{array}\right| \leq|A||C|$ 。（20 分）

三、设 $A$ 为四阶对称方阵，满足 $\displaystyle A^{2}+3 A=0$ ，且秩为 3 ，求 $\displaystyle \|A+2 E\|$ 其中 $E$ 为单位矩阵（20分）

二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{l}0 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ，问 $\displaystyle \lambda$ 为何值时：（1）$\displaystyle \alpha_{4}$ 不可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出；（2）$\displaystyle \alpha_{4}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$唯一线性表出（3）$\displaystyle \alpha_{4}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 不唯一线性表出（25分）

五、求正交矩阵 $Q$ 使得 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}-1 & -3 & 3 & -3 \\ -3 & -1 & -3 & 3 \\ 3 & -3 & -1 & -3 \\ -3 & 3 & -3 & -1\end{array}\right)$ 使 $\displaystyle Q^{\prime} A Q$ 为对角正交矩阵（25 分）

六、 证明对 $n$ 阶正定矩阵 $A$ ，存在可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{\prime} B$（20 分）

四、设 $\displaystyle A, B$ 分别为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle E-A B$ 可逆，则 $\displaystyle E-B A$（20 分）