广西民族大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
三、设 $A$ 为四阶对称方阵，满足 $\displaystyle A^{2}+3 A=0$ ，且秩为 3 ，求 $\displaystyle \|A+2 E\|$ 其中 $E$ 为单位矩阵（20分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定特征值可能取值
由 $A^2 + 3A = 0$ 可知，$A$ 满足多项式 $\lambda^2 + 3\lambda = 0$，即 $\lambda(\lambda+3)=0$。因此 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $-3$。
公式：$\lambda^2 + 3\lambda = 0$
提示：注意特征多项式与零化多项式的关系：若 $f(A)=0$，则 $A$ 的特征值满足 $f(\lambda)=0$，但反之不一定成立。
步骤 2/5
目标：利用秩确定特征值重数
$A$ 是四阶对称方阵，秩为 $3$，所以 $0$ 特征值的几何重数为 $4-3=1$。由于对称矩阵可对角化，几何重数等于代数重数，因此 $0$ 特征值的代数重数为 $1$，从而 $-3$ 特征值的代数重数为 $3$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = 3 \Rightarrow \dim\ker(A) = 1$
提示：对称矩阵可对角化，特征值的几何重数等于代数重数。
步骤 3/5
目标：写出A的特征值
因此 $A$ 的特征值为：$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = -3$，$\lambda_4 = 0$。
提示：注意特征值的顺序不影响结果。
步骤 4/5
目标：计算A+2E的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda+2$ 是 $A+2E$ 的特征值。所以 $A+2E$ 的特征值为：$-3+2 = -1$（三重）和 $0+2 = 2$（一重）。
公式：$A+2E$ 的特征值为 $\lambda+2$
提示：注意单位矩阵 $E$ 的特征值全为1，所以 $A+2E$ 的特征值等于 $A$ 的特征值加2。
步骤 5/5
目标：确定矩阵范数
由于 $A+2E$ 是对称矩阵，其谱范数等于其最大奇异值，即特征值绝对值的最大值。特征值的绝对值分别为 $|2|=2$ 和 $|-1|=1$，所以最大绝对值为 $2$。因此 $\|A+2E\| = 2$。
公式：$\|A\|_2 = \max_i |\lambda_i|$ 对于对称矩阵
提示：注意谱范数定义为最大奇异值，对于对称矩阵，奇异值等于特征值的绝对值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。