广西民族大学 2011年高等代数第0题
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六、 证明对 $n$ 阶正定矩阵 $A$ ，存在可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{\prime} B$（20 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用正定矩阵的对称性
由于 $A$ 是正定矩阵，首先证明 $A$ 是实对称矩阵。正定矩阵的定义要求 $A$ 是实对称矩阵，因此 $A^T = A$。
提示：注意正定矩阵的定义通常包含对称性，但有些教材中正定矩阵默认对称，需确认。
步骤 2/7
目标：正交对角化
因为 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$（即 $Q^T Q = I$）使得 $Q^T A Q = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ 是对角矩阵，且 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：正交矩阵满足 $Q^{-1} = Q^T$，确保对角化后仍保持对称性。
步骤 3/7
目标：利用正定性得到特征值正性
由于 $A$ 正定，所有特征值 $\lambda_i > 0$。因此可以定义 $\Lambda^{1/2} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \sqrt{\lambda_2}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$，且 $\Lambda^{1/2}$ 是可逆矩阵。
公式：$\lambda_i > 0$
提示：正定矩阵的特征值全为正数，这是关键性质。
步骤 4/7
目标：分解对角矩阵
由 $\Lambda^{1/2}$ 的定义，有 $\Lambda = \Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2}$。因为 $\Lambda^{1/2}$ 是对角矩阵，其转置等于自身，所以 $\Lambda = (\Lambda^{1/2})^T \Lambda^{1/2}$。
公式：$\Lambda = \Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2}$
提示：注意 $\Lambda^{1/2}$ 是对角矩阵，转置不变。
步骤 5/7
目标：重构原矩阵
将 $A = Q \Lambda Q^T$ 代入分解：$A = Q (\Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2}) Q^T = (Q \Lambda^{1/2}) (\Lambda^{1/2} Q^T)$。由于 $Q$ 是正交矩阵，$Q^T = Q^{-1}$，但这里不需要。
公式：$A = Q \Lambda Q^T$
提示：注意矩阵乘法的结合律，但顺序不能随意交换。
步骤 6/7
目标：构造可逆矩阵 B
令 $B = \Lambda^{1/2} Q^T$，则 $B^T = (\Lambda^{1/2} Q^T)^T = Q \Lambda^{1/2}$，因为 $\Lambda^{1/2}$ 是对称矩阵。于是 $A = B^T B$。
公式：$B = \Lambda^{1/2} Q^T$
提示：注意转置运算：$(\Lambda^{1/2} Q^T)^T = Q (\Lambda^{1/2})^T = Q \Lambda^{1/2}$。
步骤 7/7
目标：验证 B 的可逆性
$\Lambda^{1/2}$ 是对角线元素均非零的对角矩阵，故可逆；$Q^T$ 是正交矩阵，也可逆。可逆矩阵的乘积仍可逆，因此 $B$ 可逆。
提示：可逆矩阵的乘积可逆，且逆矩阵为 $(\Lambda^{1/2} Q^T)^{-1} = Q \Lambda^{-1/2}$。
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