广西民族大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
七、设 $\displaystyle A, B, C$ 分别为 $n$ 阶矩阵，若 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ B^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为正定矩阵，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B^{\prime} & C\end{array}\right| \leq|A||C|$ 。（20 分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正定性推导A和C正定
设 $M = \begin{pmatrix} A & B \\ B' & C \end{pmatrix}$ 为正定矩阵。根据正定矩阵的定义，对任意非零向量 $x$，有 $x' M x > 0$。特别地，取 $x = (u, 0)$，其中 $u$ 为非零 $n$ 维向量，则 $x' M x = u' A u > 0$，故 $A$ 正定。同理，取 $x = (0, v)$ 可得 $C$ 正定。
提示：注意正定矩阵的任意主子矩阵也正定，但这里需要直接验证。
步骤 2/6
目标：引入Schur补
由于 $A$ 正定，$A$ 可逆。定义 $M$ 关于 $A$ 的Schur补为 $S = C - B' A^{-1} B$。根据分块矩阵的行列式公式，有 $\det(M) = \det(A) \det(S)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} A & B \\ B' & C \end{pmatrix} = \det(A) \det(C - B' A^{-1} B)$
提示：该公式成立的前提是 $A$ 可逆，这里由正定性保证。
步骤 3/6
目标：证明Schur补S正定
由于 $M$ 正定，对任意非零向量 $v$，考虑 $x = (-A^{-1}B v, v)$，则 $x' M x = v' S v > 0$，故 $S$ 正定。
提示：注意构造的向量 $x$ 需非零，且计算时利用分块乘法。
步骤 4/6
目标：比较S和C的正定性关系
由于 $B' A^{-1} B$ 是半正定矩阵（因为 $A^{-1}$ 正定），所以 $S = C - B' A^{-1} B \preceq C$，即 $C - S$ 半正定。这意味着对任意向量 $v$，有 $v' S v \leq v' C v$。
提示：半正定矩阵的减法需注意顺序，$C - S$ 半正定等价于 $S \preceq C$。
步骤 5/6
目标：利用特征值或行列式性质得到不等式
对于正定矩阵 $S$ 和 $C$，若 $S \preceq C$，则 $S$ 的特征值均不超过 $C$ 的对应特征值（在适当排序下），从而 $\det(S) \leq \det(C)$。这是因为行列式等于特征值之积，且每个特征值满足 $\lambda_i(S) \leq \lambda_i(C)$。
公式：若 $0 \prec S \preceq C$，则 $\det(S) \leq \det(C)$
提示：注意特征值不等式需要同时对角化，但这里利用正定矩阵的谱分解可证。
步骤 6/6
目标：代入行列式公式得到最终不等式
由 $\det(M) = \det(A) \det(S)$ 及 $\det(S) \leq \det(C)$，得 $\det(M) \leq \det(A) \det(C)$，即 $\begin{vmatrix} A & B \\ B' & C \end{vmatrix} \leq |A||C|$。
提示：注意行列式符号，正定矩阵行列式为正，故不等式方向不变。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。