广西民族大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
四、设 $\displaystyle A, B$ 分别为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle E-A B$ 可逆，则 $\displaystyle E-B A$（20 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入逆矩阵的猜想形式
已知 $E-AB$ 可逆，设其逆为 $(E-AB)^{-1}$。猜想 $E-BA$ 的逆可能具有形式 $E + B(E-AB)^{-1}A$。
提示：注意逆矩阵的猜想形式通常通过观察恒等式得出。
步骤 2/7
目标：计算 $(E-BA)(E + B(E-AB)^{-1}A)$
展开乘积：
$(E-BA)(E + B(E-AB)^{-1}A) = E\cdot E + E\cdot B(E-AB)^{-1}A - BA\cdot E - BA\cdot B(E-AB)^{-1}A$
$= E + B(E-AB)^{-1}A - BA - BAB(E-AB)^{-1}A$。
提示：注意矩阵乘法不交换，顺序不能乱。
步骤 3/7
目标：合并中间两项
将后两项合并：
$-BA - BAB(E-AB)^{-1}A = -B[E + AB(E-AB)^{-1}]A$。
但更直接地，考虑提取公因子：
$B(E-AB)^{-1}A - BAB(E-AB)^{-1}A = B[(E-AB)^{-1} - AB(E-AB)^{-1}]A$。
提示：注意提取公因子时，矩阵乘法顺序保持不变。
步骤 4/7
目标：化简括号内表达式
利用 $(E-AB)^{-1}$ 的性质：
$(E-AB)^{-1} - AB(E-AB)^{-1} = (E - AB)(E-AB)^{-1} = E$。
因此 $B[(E-AB)^{-1} - AB(E-AB)^{-1}]A = BEA = BA$。
公式：$(E-AB)(E-AB)^{-1}=E$
提示：注意 $(E-AB)^{-1}$ 与 $(E-AB)$ 相乘得单位矩阵，但顺序重要：$(E-AB)(E-AB)^{-1}=E$ 且 $(E-AB)^{-1}(E-AB)=E$。
步骤 5/7
目标：得到乘积结果
代入化简结果：
$(E-BA)(E + B(E-AB)^{-1}A) = E + B(E-AB)^{-1}A - BA - BAB(E-AB)^{-1}A$
$= E + [B(E-AB)^{-1}A - BAB(E-AB)^{-1}A] - BA$
$= E + BA - BA = E$。
提示：注意合并后得到 $BA$，与 $-BA$ 抵消。
步骤 6/7
目标：验证另一侧乘积
计算 $(E + B(E-AB)^{-1}A)(E-BA)$：
展开得 $E - BA + B(E-AB)^{-1}A - B(E-AB)^{-1}ABA$。
合并后两项：$B(E-AB)^{-1}A - B(E-AB)^{-1}ABA = B(E-AB)^{-1}(E-AB)A = BA$。
因此乘积为 $E - BA + BA = E$。
提示：注意提取公因子时，$B(E-AB)^{-1}A - B(E-AB)^{-1}ABA = B(E-AB)^{-1}(E-AB)A$，这里 $(E-AB)$ 在中间。
步骤 7/7
目标：得出结论
由两侧乘积均为单位矩阵，可知 $E-BA$ 可逆，且其逆矩阵为 $E + B(E-AB)^{-1}A$。
公式：$(E-BA)^{-1} = E + B(E-AB)^{-1}A$
提示：注意逆矩阵的唯一性，只要找到一个矩阵满足乘积为单位阵即可。
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