广西民族大学 2011年高等代数第0题

矩阵 $A$ 为实对称矩阵，故可正交对角化。令 $B = A + I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 & -3 \\ -3 & 0 & -3 & 3 \\ 3 & -3 & 0 & -3 \\ -3 & 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$，则 $A = B - I$。$B$ 的每行元素之和为 $-3$，故 $\lambda = -3$ 是 $B$ 的特征值，对应特征向量 $(1,1,1,1)^T$。又 $B$ 的秩为 $3$，故 $0$ 是 $B$ 的特征值，且几何重数为 $3$。因此 $B$ 的特征值为 $-3$（单重）和 $0$（三重）。从而 $A$ 的特征值为 $-4$（单重）和 $-1$（三重）。

对于 $\lambda = -4$，解 $(A+4I)x=0$，即 $Bx = -3x$。由 $B$ 的行和性质，取 $v_1 = (1,1,1,1)^T$。

对于 $\lambda = -1$，解 $(A+I)x=0$，即 $Bx=0$。解方程组得 $x_1 = x_2 = x_3 = x_4$，基础解系为 $u_1 = (1,-1,0,0)^T$，$u_2 = (1,0,-1,0)^T$，$u_3 = (1,0,0,-1)^T$。

对 $u_1, u_2, u_3$ 进行施密特正交化： $w_1 = u_1 = (1,-1,0,0)^T$。 $w_2 = u_2 - \frac{\langle u_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle} w_1 = (1,0,-1,0) - \frac{1}{2}(1,-1,0,0) = \left(\frac12, \frac12, -1, 0\right)^T$。 $w_3 = u_3 - \frac{\langle u_3,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle} w_1 - \frac{\langle u_3,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle} w_2 = \left(\frac13, \frac13, \frac13, -1\right)^T$。

将正交向量组单位化： $q_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \frac{1}{2}(1,1,1,1)^T$。 $q_2 = \frac{w_1}{\|w_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0,0)^T$。 $q_3 = \frac{w_2}{\|w_2\|} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2,0)^T$。 $q_4 = \frac{w_3}{\|w_3\|} = \frac{1}{2\sqrt{3}}(1,1,1,-3)^T$。

构造正交矩阵 $Q = (q_1, q_2, q_3, q_4) = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ \frac12 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ \frac12 & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ \frac12 & 0 & 0 & -\frac{3}{2\sqrt{3}} \end{pmatrix}$。则 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(-4, -1, -1, -1)$。