广西民族大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{l}0 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ，问 $\displaystyle \lambda$ 为何值时：（1）$\displaystyle \alpha_{4}$ 不可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出；（2）$\displaystyle \alpha_{4}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$唯一线性表出（3）$\displaystyle \alpha_{4}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 不唯一线性表出（25分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立线性方程组
设 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \alpha_4$，得到线性方程组：
$$
\begin{cases}
(1+\lambda)x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
x_1 + (1+\lambda)x_2 + x_3 = \lambda \\
x_1 + x_2 + (1+\lambda)x_3 = \lambda^2
\end{cases}
$$
系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1+\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1+\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1+\lambda \end{pmatrix}$，增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} 1+\lambda & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1+\lambda & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 1+\lambda & \lambda^2 \end{pmatrix}$。
提示：注意常数项的顺序，不要写错。
步骤 2/6
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 $|A| = \begin{vmatrix} 1+\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1+\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1+\lambda \end{vmatrix}$。将第2、3列加到第1列，得 $\begin{vmatrix} 3+\lambda & 1 & 1 \\ 3+\lambda & 1+\lambda & 1 \\ 3+\lambda & 1 & 1+\lambda \end{vmatrix} = (3+\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1+\lambda \end{vmatrix}$。再第2、3行减第1行，得 $(3+\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = (3+\lambda)\lambda^2$。故 $|A| = \lambda^2(\lambda+3)$。
公式：行列式性质：将某列（行）加到另一列（行）不改变行列式的值；提取公因子；上三角行列式等于对角线元素乘积。
提示：注意提取公因子时不要漏掉符号；当 $\lambda=0$ 或 $\lambda=-3$ 时行列式为0。
步骤 3/6
目标：分析 $\lambda=0$ 的情况
当 $\lambda=0$ 时，$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。显然 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\bar{A})=1<3$，方程组有无穷多解，故 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出且不唯一。
提示：注意 $\lambda=0$ 时，方程组实际上三个方程都是 $x_1+x_2+x_3=0$，所以有无穷多解。
步骤 4/6
目标：分析 $\lambda=-3$ 的情况
当 $\lambda=-3$ 时，$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，$|A|=0$，$\mathrm{rank}(A)=2$（二阶子式 $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=3\neq0$）。对增广矩阵进行行变换：
$$
\bar{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -2 & 9 \end{pmatrix}
\xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2}
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 9 \end{pmatrix}
\xrightarrow{r_2+2r_1, r_3-r_1}
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & -6 \\ 0 & 3 & -3 & 12 \end{pmatrix}
\xrightarrow{r_3+r_2}
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}
$$
可见 $\mathrm{rank}(\bar{A})=3$，故方程组无解，$\alpha_4$ 不可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出。
提示：行变换时注意符号，最后一行出现矛盾 $0=6$，表明无解。
步骤 5/6
目标：分析 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 的情况
当 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时，$|A| \neq 0$，系数矩阵满秩，方程组有唯一解，故 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 唯一线性表出。
公式：克莱姆法则：若系数矩阵行列式非零，则线性方程组有唯一解。
提示：注意 $\lambda=0$ 和 $\lambda=-3$ 是行列式为零的两个特殊值，需要单独讨论。
步骤 6/6
目标：总结三种情况
综上所述：
（1）$\lambda = -3$ 时，$\alpha_4$ 不可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出；
（2）$\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时，$\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 唯一线性表出；
（3）$\lambda = 0$ 时，$\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 不唯一线性表出。
提示：注意区分“不可表出”、“唯一表出”、“不唯一表出”对应的方程组解的情况。
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