广西民族大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）已知行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 3 & 3 & -1 \\
2 & 1 & 7 & 2 \\
3 & 7 & -3 & -1 \\
4 & 11 & 5 & -1
\end{array}\right|
$$
$\displaystyle A_{i j}$ 是元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，求 $\displaystyle A_{12}+A_{22}+A_{32}+A_{42}$ 的值。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用代数余子式性质转化求和
由代数余子式的性质，所有第2列元素的代数余子式之和 $A_{12}+A_{22}+A_{32}+A_{42}$ 等于将行列式 $D$ 的第2列全部替换为1后所得行列式 $D'$ 的值，即
$$D' = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 3 & -1 \\
2 & 1 & 7 & 2 \\
3 & 1 & -3 & -1 \\
4 & 1 & 5 & -1
\end{vmatrix}.$$
公式：代数余子式性质：$\sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ik} = \delta_{jk} \det(A)$，当 $j \neq k$ 时，将第 $k$ 列替换为第 $j$ 列元素。
提示：注意替换的是第2列，且替换为1，因为求和系数为1。
步骤 2/5
目标：化简行列式：列变换
将第2列乘以-1加到第1列，得到
$$D' = \begin{vmatrix}
0 & 1 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 7 & 2 \\
2 & 1 & -3 & -1 \\
3 & 1 & 5 & -1
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式列变换：$C_1 \leftarrow C_1 - C_2$，行列式值不变。
提示：列变换时注意符号，此处是加-1倍，即减第2列。
步骤 3/5
目标：按第1列展开
按第1列展开，第1列元素为 $0,1,2,3$，对应的代数余子式符号分别为 $(-1)^{1+1}=1$（但元素为0，忽略），$(-1)^{2+1}=-1$，$(-1)^{3+1}=1$，$(-1)^{4+1}=-1$。因此
$$D' = (-1) \cdot 1 \cdot M + 1 \cdot 2 \cdot M + (-1) \cdot 3 \cdot M = (-1+2-3)M = -2M,$$
其中 $M$ 是余子式
$$M = \begin{vmatrix}
1 & 3 & -1 \\
1 & -3 & -1 \\
1 & 5 & -1
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式按第1列展开：$\det(A) = \sum_{i=1}^n a_{i1} (-1)^{i+1} M_{i1}$。
提示：注意代数余子式符号 $(-1)^{i+j}$，此处 $j=1$。
步骤 4/5
目标：计算三阶行列式 M
计算 $M$。将第2、3行分别减去第1行，得
$$M = \begin{vmatrix}
1 & 3 & -1 \\
0 & -6 & 0 \\
0 & 2 & 0
\end{vmatrix}.$$
按第3列展开（第3列只有第1行非零），或直接计算：第2、3行成比例？实际上第2行是 $(0,-6,0)$，第3行是 $(0,2,0)$，不成比例，但第3列全为0？不，第3列是 $(-1,0,0)$，所以按第3列展开更方便：
$$M = (-1)^{1+3} \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & -6 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3} \cdot 0 \cdot \cdots + (-1)^{3+3} \cdot 0 \cdot \cdots = (-1) \cdot (-1) \cdot (0 \cdot 2 - (-6) \cdot 0) = 0.$$
但注意，实际上第3列元素是 $-1,0,0$，按第3列展开得
$$M = (-1)^{1+3}(-1) \begin{vmatrix} 0 & -6 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{3+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) \cdot (0 \cdot 2 - (-6) \cdot 0) = 1 \cdot 0 = 0.$$
所以 $M=0$。
公式：行列式按行（列）展开。
提示：注意计算时不要遗漏符号，但此处结果为零。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
由 $M=0$，得 $D' = -2 \times 0 = 0$。因此 $A_{12}+A_{22}+A_{32}+A_{42} = 0$。
提示：注意检查计算过程，确保没有错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。