📝 广西民族大学 2013年高等代数真题
第0题
一、（15 分）已知行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 3 & 3 & -1 \\
2 & 1 & 7 & 2 \\
3 & 7 & -3 & -1 \\
4 & 11 & 5 & -1
\end{array}\right|
$$
$\displaystyle A_{i j}$ 是元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，求 $\displaystyle A_{12}+A_{22}+A_{32}+A_{42}$ 的值。
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 3 & 3 & -1 \\
2 & 1 & 7 & 2 \\
3 & 7 & -3 & -1 \\
4 & 11 & 5 & -1
\end{array}\right|
$$
$\displaystyle A_{i j}$ 是元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，求 $\displaystyle A_{12}+A_{22}+A_{32}+A_{42}$ 的值。
第0题
七、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 分别为数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 与 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，又设
$$
W=\left\{B \alpha \mid A B \alpha=0, \alpha \in P^{s \times 1}\right\} \subset P^{n \times 1}
$$
证明：
$$
\operatorname{dim}(W)=\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B)
$$
$$
W=\left\{B \alpha \mid A B \alpha=0, \alpha \in P^{s \times 1}\right\} \subset P^{n \times 1}
$$
证明：
$$
\operatorname{dim}(W)=\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B)
$$
第0题
三、（20 分）设 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right]$ ，求 $\displaystyle A^{100}$ ．
第0题
二、（15 分）设 $\displaystyle m, n \in \mathbf{N}^{+},(m, n)$ 表示 $\displaystyle m, n$ 的最大公因数，证明
$$
\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{(m, n)}-1
$$
$$
\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{(m, n)}-1
$$
第0题
五、（20分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设
$$
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}
$$
（1）求 $W$ 的一组标准正交基；
（2）求 $\displaystyle W^{-}$的一组标准正交基；
（3）若 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在 $W$ 中的内射影（即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ），并求 $\displaystyle \alpha$到 $W$ 的距离 $\displaystyle \operatorname{dist}(\alpha, W)$ ．
$$
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}
$$
（1）求 $W$ 的一组标准正交基；
（2）求 $\displaystyle W^{-}$的一组标准正交基；
（3）若 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在 $W$ 中的内射影（即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ），并求 $\displaystyle \alpha$到 $W$ 的距离 $\displaystyle \operatorname{dist}(\alpha, W)$ ．
第0题
八、（20 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 均为实 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle P(x)=A x^{2}+B x+C, f(x)=\operatorname{det} P(x)$ 表示 $\displaystyle P(x)$ 的行列式，$\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的根，证明：$\displaystyle \lambda$ 的实部是负数，即 $\displaystyle \operatorname{Re}(\lambda)<0$ 。
第0题
六、（20 分）已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明
$$
\operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B
$$
$$
\operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B
$$
第0题
四、（20分）设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的达，证明
$$
A^{n}=0 \text { 当且仅当 } \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots, n \text {. }
$$
$$
A^{n}=0 \text { 当且仅当 } \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots, n \text {. }
$$