广西民族大学 2013年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）设 $\displaystyle m, n \in \mathbf{N}^{+},(m, n)$ 表示 $\displaystyle m, n$ 的最大公因数，证明
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\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{(m, n)}-1
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设最大公因数为d，并利用Bezout引理
设 $d = (m, n)$，则存在整数 $u, v$ 使得 $d = um + vn$。
公式：Bezout引理：存在整数 $u,v$ 使 $d = um + vn$
提示：注意u,v可以是负数，但后续推导中指数运算需谨慎处理负指数，但这里我们只用到指数加法，负指数可转化为正指数幂的逆，但单位根性质仍成立。
步骤 2/6
目标：证明 $x^d-1$ 是公因式
由于 $d \mid m$，设 $m = dk$，则 $x^m - 1 = (x^d)^k - 1$。由因式分解公式 $a^k - 1 = (a-1)(a^{k-1} + \cdots + 1)$，得 $x^d - 1 \mid x^m - 1$。同理 $x^d - 1 \mid x^n - 1$。因此 $x^d - 1$ 是 $x^m-1$ 和 $x^n-1$ 的公因式。
公式：$a^k - 1 = (a-1)(a^{k-1} + a^{k-2} + \cdots + 1)$
提示：注意这里要求 $k$ 为正整数，$d \mid m$ 保证了 $k$ 是整数。
步骤 3/6
目标：设任意公因式 $f(x)$，并考虑其根
设 $f(x)$ 是 $x^m-1$ 和 $x^n-1$ 的任意公因式。则 $f(x)$ 的根都是 $x^m-1$ 和 $x^n-1$ 的根，即单位根。设 $\omega$ 是 $f(x)$ 的根，则 $\omega^m = 1$，$\omega^n = 1$。
提示：注意 $f(x)$ 可能不是首一多项式，但根的性质仍然成立。
步骤 4/6
目标：证明 $\omega$ 也是 $x^d-1$ 的根
由 $\omega^m = 1$ 和 $\omega^n = 1$，以及 $d = um + vn$，得 $\omega^d = \omega^{um+vn} = (\omega^m)^u (\omega^n)^v = 1^u \cdot 1^v = 1$。因此 $\omega$ 是 $x^d-1$ 的根。
公式：$\omega^d = \omega^{um+vn} = (\omega^m)^u (\omega^n)^v$
提示：这里 $u,v$ 可能为负，但 $\omega^m=1$ 时 $\omega^{-m}=1$ 也成立，所以负指数无影响。
步骤 5/6
目标：说明 $f(x)$ 整除 $x^d-1$
由于 $f(x)$ 的每个根都是 $x^d-1$ 的根，且 $x^m-1$ 和 $x^n-1$ 无重根（因为 $m>0$ 时，$x^m-1$ 的导数 $mx^{m-1}$ 与 $x^m-1$ 互素，故无重根），所以 $f(x)$ 的根都是单根，从而 $f(x)$ 整除 $x^d-1$。
提示：注意无重根的条件：多项式与其导数互素。这里 $x^m-1$ 的根是 $m$ 次单位根，都是单根。
步骤 6/6
目标：总结最大公因式
由前两步，$x^d-1$ 是 $x^m-1$ 和 $x^n-1$ 的公因式，且任意公因式整除 $x^d-1$，因此 $x^d-1$ 是最大公因式，即 $(x^m-1, x^n-1) = x^{(m,n)}-1$。
提示：注意最大公因式通常取首一多项式，这里 $x^d-1$ 已是首一。
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